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Kubische Gleichung

Löst die reduzierte kubische Gleichung x³ + p·x + q = 0 nach Cardano. Liefert je nach Diskriminante D = q²/4 + p³/27 eine oder drei reelle Lösungen.

Kubische Gleichung
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Kubische Gleichung berechnen

Löst die reduzierte kubische Gleichung x³ + p·x + q = 0 nach Cardano. Liefert je nach Diskriminante D = q²/4 + p³/27 eine oder drei reelle Lösungen.

x = ∛(−q/2 + √D) + ∛(−q/2 − √D), D = q²/4 + p³/27

Was ist eine kubische Gleichung?

Eine kubische Gleichung ist eine Polynomgleichung dritten Grades. Eine allgemeine Gleichung der Form

a · x³ + b · x² + c · x + d = 0

lässt sich durch die Substitution x = y − b/(3a) immer auf die reduzierte Form

y³ + p · y + q = 0

bringen. Genau diese Form löst die Cardanische Formel direkt.

Eine kubische Gleichung hat im Reellen entweder genau eine oder genau drei Lösungen. Welcher Fall vorliegt, verrät die Diskriminante D = q²/4 + p³/27.

Die Formel

Formel Cardanische Formel 
x³ + p · x + q = 0

D = q²/4 + p³/27

Fall 1:  D ≥ 0
───────────────
u = ∛(−q/2 + √D)
v = ∛(−q/2 − √D)
x = u + v          (eine reelle Lösung)

Fall 2:  D < 0   (Casus irreducibilis)
───────────────
r   = √(−p³/27)
φ   = arccos(−q / (2r))
xₖ  = 2 · ∛r · cos((φ + 2kπ) / 3),  k ∈ {0, 1, 2}
                                    (drei reelle Lösungen)

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
pKoeffizient—Linearer Koeffizient der reduzierten Form.
qKonstante—Absolutglied der reduzierten Form.
xLösungen—Eine oder drei reelle Lösungen.

Minimal-Beispiel

Löse x³ − 6x + 4 = 0 (also p = −6, q = 4):

Rechnung Beispiel 
D = 4²/4 + (−6)³/27
  = 4 + (−216/27)
  = 4 − 8
  = −4

D < 0   →   Casus irreducibilis, drei reelle Lösungen
r   = √(216/27) = √8 = 2√2
φ   = arccos(−4 / (2 · 2√2)) = arccos(−1/√2) = 3π/4

x₀ ≈ 2,000
x₁ ≈ −2,732
x₂ ≈  0,732

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Eine reelle Lösung (D > 0)

Löse x³ + 3x − 4 = 0 (p = 3, q = −4):

Rechnung D positiv 
D = 4 + 1 = 5
u = ∛(2 + √5) ≈ ∛4,236 ≈ 1,618
v = ∛(2 − √5) ≈ ∛(−0,236) ≈ −0,618
x = u + v ≈ 1,000

Probe: 1³ + 3·1 − 4 = 0 ✓

Beispiel 2 — Doppelwurzel (D = 0)

Löse x³ − 3x + 2 = 0 (p = −3, q = 2):

Rechnung D = 0 
D = 1 − 1 = 0
u = v = ∛(−1) = −1
x = u + v = −2

Faktorisierung: (x + 2)(x − 1)² = 0
→  x₁ = −2,  x₂,₃ = 1 (Doppelwurzel)

Beispiel 3 — Allgemeine Form reduzieren

Bringe x³ + 6x² + 9x + 4 = 0 auf die reduzierte Form (Substitution x = y − 2):

Rechnung Reduzieren 
Einsetzen und ausmultiplizieren ergibt:
y³ − 3y + 2 = 0       (p = −3, q = 2)

Lösungen siehe Beispiel 2:  y ∈ {−2, 1}
Rücksubstitution x = y − 2:
x ∈ {−4, −1, −1}

Beispiel 4 — Drei reelle Lösungen

Löse x³ − 7x + 6 = 0 (p = −7, q = 6):

Rechnung Drei Lösungen 
D = 9 − 343/27 ≈ 9 − 12,704 = −3,704
D < 0   →   Casus irreducibilis

r  = √(343/27) ≈ 3,565
φ  = arccos(−6 / (2 · 3,565)) ≈ arccos(−0,842) ≈ 2,571 rad

x₀ ≈ 1,000
x₁ ≈ −3,000
x₂ ≈ 2,000