/ Mathematik
Komplexe Zahlen
Addition, Multiplikation, Division, Betrag, Argument, Polarform und Konjugation komplexer Zahlen — die Werkzeuge für Wechselstromrechnung, Quantenmechanik, Signalverarbeitung und alles, was sich elegant in der Gaußschen Zahlenebene beschreiben lässt.
7 Rechner in dieser Kategorie, jeweils mit automatischer Variablen-Umstellung.
M01
Addition komplexer Zahlen
Summe zweier komplexer Zahlen z₁ = a₁ + b₁·i und z₂ = a₂ + b₂·i: Real- und Imaginärteil werden komponentenweise addiert. M02
Multiplikation komplexer Zahlen
Produkt zweier komplexer Zahlen: (a₁ + b₁·i)(a₂ + b₂·i) = (a₁·a₂ − b₁·b₂) + (a₁·b₂ + a₂·b₁)·i. Folgt direkt aus i² = −1. M03
Betrag einer komplexen Zahl
Länge des Zeigers in der Gaußschen Zahlenebene: |z| = √(a² + b²). Entspricht dem euklidischen Abstand vom Ursprung. M04
Argument einer komplexen Zahl
Winkel φ des Zeigers z = a + b·i gegen die positive Realachse: arg(z) = atan2(b, a). Ergebnis in Grad im Bereich (−180°; 180°]. M05
Polarform → kartesisch
Wandelt die Polarform z = r · (cos(φ) + i · sin(φ)) in die kartesische Form a + b·i um. Eingabewinkel in Grad. M06
Konjugiert komplexe Zahl
Spiegelung an der Realachse: z̄ = a − b·i. Real- bleibt, Imaginärteil wechselt das Vorzeichen. Zentral für Division und Betragsquadrat (z · z̄ = a² + b²). M07
Division komplexer Zahlen
Quotient zweier komplexer Zahlen: z₁ / z₂ = (a₁·a₂ + b₁·b₂) / (a₂² + b₂²) + (a₂·b₁ − a₁·b₂) / (a₂² + b₂²) · i. Berechnet durch Erweitern mit der Konjugierten von z₂.