Betrag einer komplexen Zahl
Länge des Zeigers in der Gaußschen Zahlenebene: |z| = √(a² + b²). Entspricht dem euklidischen Abstand vom Ursprung.
Betrag einer komplexen Zahl berechnen
Länge des Zeigers in der Gaußschen Zahlenebene: |z| = √(a² + b²). Entspricht dem euklidischen Abstand vom Ursprung.
Was ist der Betrag einer komplexen Zahl?
In der Gaußschen Zahlenebene wird z = a + b·i als Pfeil vom Ursprung zum Punkt (a; b) gezeichnet. Der Betrag |z| ist die Länge dieses Pfeils — die direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die Katheten a und b.
Der Betrag ist stets reell und nicht-negativ. Er erfüllt |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| und die Dreiecksungleichung |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.
Die Formel
|z| = √(a² + b²)
Äquivalent: |z|² = z · z̄Die zweite Form ist algebraisch nützlich, weil sie ohne Wurzel auskommt — sie taucht z. B. bei der Division komplexer Zahlen im Nenner auf.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a | Realteil | — | Realteil von z. |
| b | Imaginärteil | — | Imaginärteil von z. |
| r | Betrag | z |
Minimal-Beispiel
z = 3 + 4·i:
|z| = √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Wechselstrom: Scheinwiderstand
Eine Reihenschaltung aus Widerstand R = 30 Ω und induktivem Blindwiderstand X_L = 40 Ω hat die komplexe Impedanz Z = 30 + 40·i. Der Scheinwiderstand |Z| ist:
|Z| = √(30² + 40²)
= √(900 + 1.600)
= √2.500
= 50 ΩBeispiel 2 — Quantenmechanik: Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, einen Zustand zu messen, ist |ψ|². Für ψ = 0,6 + 0,8·i:
|ψ|² = 0,6² + 0,8²
= 0,36 + 0,64
= 1,00 (normiert)Beispiel 3 — Schule: Imaginärteil dominiert
z = −2 + 5·i:
|z| = √((−2)² + 5²)
= √(4 + 25)
= √29
≈ 5,385Beispiel 4 — Reine imaginäre Zahl
z = 0 + 7·i:
|z| = √(0² + 7²)
= √49
= 7
Der Betrag entspricht hier dem Imaginärteil.