/ Mathematik
Differentialrechnung
Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, Tangenten- und Normalensteigung, Extremstellen, Wendepunkte und Linearisierung — die Werkzeuge zur lokalen Analyse differenzierbarer Funktionen.
9 Rechner in dieser Kategorie, jeweils mit automatischer Variablen-Umstellung.
M01
Potenzregel
Für f(x) = a · xⁿ gilt f'(x) = a · n · x^(n − 1). Berechnet den Wert der Ableitung an einer Stelle x. M02
Produktregel
(f · g)' = f' · g + f · g'. Berechnet die Ableitung eines Produkts aus den Werten von f, f', g und g' an einer Stelle. M03
Quotientenregel
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g². Berechnet die Ableitung eines Quotienten aus den Werten von f, f', g und g'. M04
Kettenregel
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Multipliziert äußere und innere Ableitung zur Ableitung verketteter Funktionen. M05
Tangentensteigung
Numerische Ableitung über den zentralen Differenzenquotienten: f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h). M06
Normalensteigung
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente: m_n = −1 / m_t. Aus der Tangentensteigung folgt die Normalensteigung — und umgekehrt. M07
Extremstellen
Notwendige Bedingung: f'(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung über das Vorzeichen von f''(x₀): f'' > 0 ⇒ Minimum, f'' < 0 ⇒ Maximum, f'' = 0 ⇒ Sattelpunkt (weitere Prüfung nötig). M08
Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x₀) ≠ 0 ⇒ Wendepunkt liegt vor. M09
Linearisierung
L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a). Tangentennäherung von f an der Entwicklungsstelle a, ausgewertet an einer Stelle x.