Normalensteigung
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente: m_n = −1 / m_t. Aus der Tangentensteigung folgt die Normalensteigung — und umgekehrt.
Normalensteigung berechnen
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente: m_n = −1 / m_t. Aus der Tangentensteigung folgt die Normalensteigung — und umgekehrt.
- mn — Normalensteigung m_n
- mt — Tangentensteigung m_t
Was ist die Normalensteigung?
Die Normale an einer Stelle x₀ einer differenzierbaren Funktion f ist die Gerade, die im Punkt (x₀, f(x₀)) senkrecht zur Tangente steht. Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt:
m_t · m_n = −1 ⇒ m_n = −1 / m_t
Voraussetzung: m_t ≠ 0. Eine waagerechte Tangente hat eine senkrechte Normale — diese besitzt keine endliche Steigung und wird durch die Gleichung x = x₀ beschrieben.
Die Formel
m_n = −1 / m_t (Tangente → Normale)
m_t = −1 / m_n (Normale → Tangente)
Voraussetzung: m_t ≠ 0 bzw. m_n ≠ 0Die Normalengleichung am Punkt (x₀, y₀) lautet damit:
y − y₀ = m_n · (x − x₀)
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| m_t | Tangentensteigung | — | f'(x₀), Steigung der Tangente. |
| m_n | Normalensteigung | — | Steigung der Normalen am Punkt (x₀, f(x₀)). |
Minimal-Beispiel
Die Tangente an die Parabel f(x) = x² hat an der Stelle x = 1 die Steigung m_t = 2.
m_t = 2
m_n = −1 / 2 = −0,5Die Normale durch (1, 1) lautet: y − 1 = −0,5 · (x − 1).
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Negative Tangentensteigung
An einer Stelle gilt m_t = −4.
m_n = −1 / (−4) = 0,25Vorzeichen drehen sich um — eine fallende Tangente führt zu einer steigenden Normalen.
Beispiel 2 — Steigung gleich 1
An einem Wendepunkt sei m_t = 1.
m_n = −1 / 1 = −1Tangente und Normale stehen unter 45° bzw. 135° zur x-Achse — beide bilden zusammen ein rechtwinkliges Kreuz.
Beispiel 3 — Waagerechte Tangente
An einem Extremum ist m_t = 0. Die Formel liefert dann keinen Wert (Division durch Null).
m_t = 0 → Normale ist senkrecht (x = x₀)In diesem Fall wird die Normale nicht über eine Steigung, sondern direkt als senkrechte Gerade x = x₀ angegeben.
Beispiel 4 — Kreistangente
Ein Kreis um (0, 0) mit Radius 5: am Punkt P = (3, 4) hat der Radius die Steigung 4/3. Da die Tangente senkrecht auf dem Radius steht, ist die Tangentensteigung am Punkt P:
Radius-Steigung: m_r = 4/3
Tangente: m_t = −1 / (4/3) = −0,75
Normale (= Radius): m_n = −1 / (−0,75) = 4/3 ≈ 1,3333Beispiel 5 — Aus Normalensteigung zurück auf Tangente
Eine Normale habe die Steigung m_n = 3. Welche Steigung hat die Tangente?
m_t = −1 / m_n = −1 / 3 ≈ −0,3333