/ Mathematik

Analytische Geometrie

Abstände, Mittelpunkt, Geradengleichungen, Schnittpunkte, Kreisgleichung sowie Skalar-, Kreuzprodukt und Winkel zwischen Vektoren — die Werkzeuge, mit denen die Schul- und Ingenieurgeometrie auf Koordinaten und Vektoren übertragen wird.

18 Rechner in dieser Kategorie, jeweils mit automatischer Variablen-Umstellung.

Abstand zweier Punkte (2D)

Euklidischer Abstand zweier Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂) in der Ebene: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Abstand zweier Punkte (3D)

Euklidischer Abstand zweier Punkte im Raum: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Mittelpunkt zweier Punkte

Berechnet den Mittelpunkt M der Strecke zwischen P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂): M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Liefert beide Koordinaten als Text.

Geradengleichung (Punkt-Steigung)

Punkt-Steigungs-Form einer Geraden: y = m · (x − x₁) + y₁. Berechnet den y-Wert auf der Geraden an der Stelle x oder die x-Stelle zu einem gegebenen y.

Geradengleichung durch zwei Punkte

Liefert die Geradengleichung y = m·x + b durch zwei Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂). Steigung m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), Achsenabschnitt b = y₁ − m·x₁.

Steigung einer Geraden

Hauptform der Geraden y = m·x + b. Berechnet — je nach gesuchter Größe — Steigung m, Achsenabschnitt b, x-Wert oder y-Wert.

Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt der beiden Geraden y = m₁·x + b₁ und y = m₂·x + b₂. Bei m₁ = m₂ sind die Geraden parallel (kein eindeutiger Schnittpunkt). Liefert (x; y) als Text.

Abstand Punkt–Gerade

Lotabstand eines Punktes P(x₀; y₀) von der Geraden a·x + b·y + c = 0: d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²).

Kreis mit Mittelpunkt (h; k) und Radius r: (x − h)² + (y − k)² = r². Berechnet den oberen y-Wert auf dem Kreis zu gegebenem x.

Schnittpunkt Gerade–Kreis

Untersucht die Schnittlage der Geraden y = m·x + b mit dem Kreis x² + y² = r². Diskriminante D = r² · (1 + m²) − b² entscheidet: D > 0 zwei Schnittpunkte, D = 0 Tangente, D < 0 kein Schnittpunkt.

Skalarprodukt (2D)

Skalarprodukt zweier ebener Vektoren a = (a₁; a₂) und b = (b₁; b₂): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.

Skalarprodukt (3D)

Skalarprodukt zweier räumlicher Vektoren a = (a₁; a₂; a₃) und b = (b₁; b₂; b₃): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.

Kreuzprodukt (Betrag)

Betrag des Kreuzprodukts zweier räumlicher Vektoren: |a × b| = √(c_x² + c_y² + c_z²) mit c_x = a₂·b₃ − a₃·b₂, c_y = a₃·b₁ − a₁·b₃, c_z = a₁·b₂ − a₂·b₁. Entspricht zugleich der Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Vektorbetrag (2D)

Länge eines ebenen Vektors a = (a₁; a₂): |a| = √(a₁² + a₂²).

Vektorbetrag (3D)

Länge eines räumlichen Vektors a = (a₁; a₂; a₃): |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).

Winkel zwischen Vektoren

Schließwinkel φ zwischen zwei ebenen Vektoren: cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|). Ergebnis in Grad.

Vektorprojektion

Skalare Projektion des Vektors a auf den Vektor b in der Ebene: proj_b(a) = (a · b) / |b|. Liefert die Länge des Schattens von a in Richtung b (vorzeichenbehaftet).

Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren

Fläche des von zwei ebenen Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms: A = |a₁·b₂ − a₂·b₁|. Entspricht dem Betrag der z-Komponente des Kreuzprodukts.