Abstand zweier Punkte (3D)
Euklidischer Abstand zweier Punkte im Raum: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
Abstand zweier Punkte (3D) berechnen
Euklidischer Abstand zweier Punkte im Raum: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
Was ist der Abstand im Raum?
Der räumliche Abstand zweier Punkte P₁ und P₂ ist die Länge der geraden Strecke zwischen ihnen — die direkte Verbindung durch den Raum.
Die Formel entsteht aus dem Satz des Pythagoras, zweimal angewandt: zuerst auf das Bodendreieck mit Δx und Δy, dann auf das vertikale Dreieck mit der Bodendiagonalen und Δz.
Die Formel
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| x₁, y₁, z₁ | Punkt P₁ | Länge | Koordinaten des ersten Punktes im Raum. |
| x₂, y₂, z₂ | Punkt P₂ | Länge | Koordinaten des zweiten Punktes im Raum. |
| d | Abstand | Länge | Euklidische Länge der Strecke P₁P₂. |
Minimal-Beispiel
Abstand zwischen P₁(1; 2; 3) und P₂(4; 6; 15):
d = √((4 − 1)² + (6 − 2)² + (15 − 3)²)
= √(9 + 16 + 144)
= √169
= 13Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Raumdiagonale eines Quaders
Ein Quader hat die Eckpunkte A(0; 0; 0) und G(6; 4; 3). Wie lang ist die Raumdiagonale AG?
d = √(6² + 4² + 3²)
= √(36 + 16 + 9)
= √61
≈ 7,81Beispiel 2 — Vermessung in 3D
Zwei Bohrmessstellen im Tunnel liegen bei P₁(120; 50; −15) m und P₂(180; 90; −25) m. Welchen direkten Abstand haben sie?
d = √(60² + 40² + (−10)²)
= √(3 600 + 1 600 + 100)
= √5 300
≈ 72,8 mBeispiel 3 — Distanz im 3D-Grafik-Szenegraphen
Ein Spieler steht bei (10; 0; 5), ein Gegner bei (−4; 2; 17). Wie weit ist der Schusskanal?
d = √((−4 − 10)² + (2 − 0)² + (17 − 5)²)
= √(196 + 4 + 144)
= √344
≈ 18,55Beispiel 4 — Flugzeug zu Bodenstation
Ein Flugzeug ist 8 km östlich, 3 km nördlich und 11 km über einem Tower. Wie weit ist die Funkstrecke?
d = √(8² + 3² + 11²)
= √(64 + 9 + 121)
= √194
≈ 13,93 km