/ Mathematik

Statistik & Wahrscheinlichkeit

Lage- und Streumaße (Mittelwert, Median, Modus, Varianz, Standardabweichung), Quartile, Korrelation und lineare Regression, klassische und bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Binomial- und Normalverteilung, Erwartungswert sowie Kombinatorik (Permutationen, Kombinationen) — die Werkzeuge der deskriptiven und schließenden Statistik.

24 Rechner in dieser Kategorie, jeweils mit automatischer Variablen-Umstellung.

Arithmetisches Mittel

Der klassische Durchschnitt: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Eingabe als kommagetrennte Liste.

Geometrisches Mittel

G = (x₁ · x₂ · … · xₙ)^(1/n) — Standard-Mittel für Wachstumsraten und Renditen. Alle Werte müssen positiv sein.

Harmonisches Mittel

H = n / Σ(1/xᵢ) — passend bei Verhältnissen wie Durchschnittsgeschwindigkeit oder Stückkosten. Alle Werte ungleich 0.

Zentralwert einer sortierten Datenreihe. Bei ungeradem n der mittlere Wert, bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren.

Der häufigste Wert in einer Datenreihe. Bei mehreren gleich häufigen Werten ist die Verteilung bi- oder multimodal — der Rechner gibt dann alle aus.

Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n. (Populations-Varianz, Teiler n.)

Standardabweichung

σ = √(Varianz). Streuung in der gleichen Einheit wie die Daten — das gängigste Streumaß überhaupt.

R = x_max − x_min. Einfachstes Streumaß — anfällig für Ausreißer, aber schnell zu berechnen.

Quartilsabstand (IQR)

IQR = Q₃ − Q₁ — der mittlere 50-%-Bereich. Robustes Streumaß, weil unempfindlich gegenüber Ausreißern. Liefert Q₁, Q₃ und den Abstand.

Pearson-Korrelationskoeffizient

r misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier Reihen: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Werte zwischen −1 und +1.

Lineare Regression (Steigung)

Steigung b der Ausgleichsgeraden y = b·x + a nach der Methode der kleinsten Quadrate: b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)².

Lineare Regression (Achsenabschnitt)

Achsenabschnitt a der Ausgleichsgeraden y = b·x + a. Aus der Bedingung, dass die Gerade durch (x̄; ȳ) verläuft, folgt a = ȳ − b·x̄.

Wahrscheinlichkeit (klassisch)

P(E) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse — Laplace-Wahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Ausgängen.

Gegenwahrscheinlichkeit

P(Ē) = 1 − P(E). Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt — oft schneller zu berechnen als das Ereignis selbst.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist.

P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B). Umkehrung einer bedingten Wahrscheinlichkeit — Grundlage diagnostischer Tests, Spam-Filter und vieler KI-Verfahren.

Binomialverteilung (einzeln)

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) — Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen mit Einzelerfolgswahrscheinlichkeit p.

Binomialverteilung (kumuliert)

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · p^i · (1 − p)^(n − i) — Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge.

z-Standardisierung

z = (x − μ) / σ. Wandelt einen normalverteilten Messwert in einen Standard-Normalverteilungs-Wert um (Abstand zum Mittelwert in Standardabweichungen).

E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ) — mit Wahrscheinlichkeiten gewichtetes Mittel der möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen.

Varianz (diskret)

Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(xᵢ) — Streumaß einer diskreten Zufallsvariablen. Liefert sowohl E(X) als auch Var(X).

Permutation (ohne Wiederholung)

P(n, k) = n! / (n − k)! — Anzahl der geordneten Auswahlen von k Elementen aus n, ohne Zurücklegen.

Permutation (mit Wiederholung)

P = n^k — Anzahl der Möglichkeiten, k Plätze mit n verschiedenen Optionen zu besetzen (Reihenfolge wichtig, Wiederholung erlaubt).

Kombination (ohne Wiederholung)

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) — Anzahl der ungeordneten Auswahlen von k aus n Elementen (Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen).