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Wahrscheinlichkeit (klassisch)

P(E) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse — Laplace-Wahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Ausgängen.

01 · Eingabe

Wahrscheinlichkeit (klassisch) berechnen

P(E) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse — Laplace-Wahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Ausgängen.

Lösen für

P = g / m

g Günstige Ergebnisse

m Mögliche Ergebnisse

Was ist die klassische Wahrscheinlichkeit?

Die klassische Wahrscheinlichkeit (nach Laplace) liegt vor, wenn ein Zufallsexperiment endlich viele, gleich wahrscheinliche Ausgänge hat. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist dann:

P(E) = Anzahl der für E günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Typische Schul-Beispiele: Würfel, Münze, Lotto, Karten ziehen. Die Annahme „alle Ausgänge gleich wahrscheinlich" gilt dort wegen der mechanischen Symmetrie der Experimente.

Es ist stets 0 ≤ P(E) ≤ 1. P = 0 bedeutet unmöglich, P = 1 bedeutet sicher.

Die Formel

Formel Laplace-Wahrscheinlichkeit

P(E) = g / m

g = Anzahl günstiger Ergebnisse
m = Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
g	Günstige Ergebnisse	—	Anzahl der für E zählenden Ausgänge.
m	Mögliche Ergebnisse	—	Anzahl aller Ausgänge des Experiments.
P	Wahrscheinlichkeit	—	P(E) ∈ [0, 1].

Minimal-Beispiel

Würfel: Wie wahrscheinlich ist eine 6?

Rechnung Eine Sechs

g = 1   (genau die Augenzahl 6)
m = 6   (Augenzahlen 1..6)

P = 1 / 6 ≈ 0,1667 = 16,67 %

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Gerade Zahl beim Würfel

Rechnung Gerade Zahl

günstig = {2, 4, 6} → g = 3
möglich = 6

P = 3 / 6 = 1/2 = 50 %

Beispiel 2 — Karten aus einem Skatblatt

Wahrscheinlichkeit, aus 32 Karten ein Ass zu ziehen:

Rechnung Ass ziehen

g = 4 Asse
m = 32 Karten

P = 4 / 32 = 1/8 = 12,5 %

Beispiel 3 — Lotto 6 aus 49

Wahrscheinlichkeit für einen Sechser:

Rechnung Lotto 6er

g = 1   (genau eine Kombination ist richtig)
m = C(49, 6) = 13.983.816

P = 1 / 13.983.816
  ≈ 7,15 · 10⁻⁸
  ≈ 1 zu 14 Millionen

Beispiel 4 — Zwei Würfel: Summe 7

Beim Wurf mit zwei Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse.

Rechnung Augensumme 7

günstig: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
g = 6,  m = 36

P = 6 / 36 = 1/6 ≈ 16,67 %

Beispiel 5 — Münzwurf, dreimal hintereinander Kopf

Rechnung Münze

m = 2³ = 8 mögliche Folgen
g = 1  (KKK)

P = 1 / 8 = 12,5 %