Mathematik Rechner
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- Erste Binomische Formel
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- Pascalsches Dreieck
- Polynomdivision (Horner-Schema)
- Arithmetische Folge (n-tes Glied)
- Arithmetische Reihe (Summe)
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- Prisma Oberfläche
- Abstand zweier Punkte (2D)
- Abstand zweier Punkte (3D)
- Mittelpunkt zweier Punkte
- Geradengleichung (Punkt-Steigung)
- Geradengleichung durch zwei Punkte
- Steigung einer Geraden
- Schnittpunkt zweier Geraden
- Abstand Punkt–Gerade
- Kreisgleichung
- Schnittpunkt Gerade–Kreis
- Skalarprodukt (2D)
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- Vektorbetrag (3D)
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- Vektorprojektion
- Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren
- Potenzregel
- Produktregel
- Quotientenregel
- Kettenregel
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- Trapezregel
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- Bogenlänge (Integral)
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- Geometrisches Mittel
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- Modalwert
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- Addition komplexer Zahlen
- Multiplikation komplexer Zahlen
- Betrag einer komplexen Zahl
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- Polarform → kartesisch
- Konjugiert komplexe Zahl
- Division komplexer Zahlen
Primzahltest berechnen
Prüft, ob eine natürliche Zahl n ≥ 2 eine Primzahl ist (nur durch 1 und sich selbst teilbar).
Größter gemeinsamer Teiler berechnen
Berechnet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier ganzer Zahlen mit dem euklidischen Algorithmus.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen
Berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen über kgV(a, b) = |a · b| / ggT(a, b).
Fakultät berechnen
Berechnet n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Per Definition ist 0! = 1. Ab n = 171 überschreitet das Ergebnis den darstellbaren Float-Bereich.
Binomialkoeffizient berechnen
Berechnet "n über k" = n! / (k! · (n − k)!) — die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen.
Fibonacci-Zahl berechnen
Berechnet die n-te Fibonacci-Zahl. Definition: F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2).
Quersumme berechnen
Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl. Vorzeichen wird ignoriert — Q(−123) = 1 + 2 + 3 = 6.
Dezimal zu Binär berechnen
Wandelt eine nicht-negative ganze Dezimalzahl in ihre Binärdarstellung (Basis 2) um.
Dezimal zu Hexadezimal berechnen
Wandelt eine nicht-negative ganze Dezimalzahl in ihre Hexadezimaldarstellung (Basis 16, Großbuchstaben) um.
Dezimal zu Oktal berechnen
Wandelt eine nicht-negative ganze Dezimalzahl in ihre Oktaldarstellung (Basis 8) um.
Binär zu Dezimal berechnen
Wandelt eine Binärzahl (Basis 2) in ihre Dezimaldarstellung um. Eingabe darf nur die Ziffern 0 und 1 enthalten.
Hexadezimal zu Dezimal berechnen
Wandelt eine Hexadezimalzahl (Basis 16) in ihre Dezimaldarstellung um. Erlaubt sind die Ziffern 0–9 und A–F (Groß- oder Kleinschreibung).
Prozentwert berechnen
Berechne den Prozentwert W aus Grundwert G und Prozentsatz p — automatisch nach jeder Variable umgestellt.
- W — Prozentwert
- G — Grundwert
- p — Prozentsatz
Grundwert berechnen
Berechne den Grundwert G aus Prozentwert W und Prozentsatz p — die Basis, von der ein Anteil genommen wurde.
- G — Grundwert
- W — Prozentwert
- p — Prozentsatz
Prozentsatz berechnen
Berechne den Prozentsatz p aus Prozentwert W und Grundwert G — wie viel Prozent ist W von G?
- p — Prozentsatz
- W — Prozentwert
- G — Grundwert
Prozentuale Änderung berechnen
Berechne die prozentuale Änderung Δp zwischen einem alten und einem neuen Wert — Steigerung oder Rückgang in Prozent.
- dp — Prozentuale Änderung
- neu — Neuer Wert
- alt — Alter Wert
Promille berechnen
Berechne den Promillewert W aus Grundwert G und Promillesatz p‰ — Anteile pro Tausend statt pro Hundert.
- W — Promillewert
- G — Grundwert
- pm — Promillesatz
Dreisatz berechnen
Proportionaler Dreisatz: Wenn a Einheiten den Wert b haben, was haben x Einheiten? — y = b · x / a.
- y — Gesuchter Wert
- x — Gesuchte Menge
- a — Bekannte Menge
- b — Bekannter Wert
Mischungsrechnung berechnen
Berechne die resultierende Konzentration c einer Mischung aus zwei Lösungen mit unterschiedlichen Mengen und Konzentrationen.
- c — Mischkonzentration
- m1 — Menge 1
- m2 — Menge 2
Potenz berechnen
Berechnet a hoch n. Per Umstellung lassen sich auch die Basis a (n-te Wurzel aus y) und der Exponent n (Logarithmus) bestimmen.
- y — Ergebnis
- a — Basis
- n — Exponent
Quadratwurzel berechnen
Berechnet die Quadratwurzel √a. Die Umkehroperation a = y² liefert den Radikanden zurück.
- y — Ergebnis
- a — Radikand
n-te Wurzel berechnen
Berechnet die n-te Wurzel von a, also a^(1/n). Für n = 2 ergibt sich die Quadratwurzel, für n = 3 die Kubikwurzel.
- y — Ergebnis
- a — Radikand
Logarithmus (Basis 10) berechnen
Berechnet den dekadischen Logarithmus log₁₀(a). Beantwortet die Frage: 10 hoch wie viel ergibt a?
- y — Ergebnis
- a — Argument
Natürlicher Logarithmus berechnen
Berechnet den natürlichen Logarithmus ln(a) zur Basis e ≈ 2,71828. Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e^x.
- y — Ergebnis
- a — Argument
Logarithmus (beliebige Basis) berechnen
Berechnet log_b(a) über den Basiswechsel log_b(a) = ln(a) / ln(b). Beantwortet: b hoch wie viel ergibt a?
- y — Ergebnis
- a — Argument
Exponentialfunktion berechnen
Berechnet e hoch x mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828. Grundbaustein für stetiges Wachstum und Zerfall.
- y — Ergebnis
- x — Exponent
Lineare Gleichung berechnen
Löst die lineare Gleichung a · x + b = 0 nach x auf: x = −b / a (für a ≠ 0).
Lineares Gleichungssystem 2×2 berechnen
Löst das System a₁·x + b₁·y = c₁ und a₂·x + b₂·y = c₂ nach Cramer. Gibt sowohl x als auch y als Text aus.
Lineares Gleichungssystem 3×3 berechnen
Löst ein 3×3-Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel über die Determinante det₃ₓ₃. Liefert x, y und z als Text.
Quadratische Gleichung berechnen
Löst a·x² + b·x + c = 0 mit der Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Gibt beide Lösungen x₁ und x₂ aus.
Satz von Vieta berechnen
Für die Normalform x² + p·x + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Der Rechner ermittelt beide Lösungen.
Kubische Gleichung berechnen
Löst die reduzierte kubische Gleichung x³ + p·x + q = 0 nach Cardano. Liefert je nach Diskriminante D = q²/4 + p³/27 eine oder drei reelle Lösungen.
Erste Binomische Formel berechnen
Plus-Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Berechnet das Quadrat einer Summe.
Zweite Binomische Formel berechnen
Minus-Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b². Berechnet das Quadrat einer Differenz.
Dritte Binomische Formel berechnen
Plus-Mal-Minus: (a + b)(a − b) = a² − b². Faktorisiert die Differenz zweier Quadrate.
Pascalsches Dreieck berechnen
Liefert den Wert an Position k in Zeile n des Pascalschen Dreiecks. Der Wert entspricht dem Binomialkoeffizienten C(n, k).
Polynomdivision (Horner-Schema) berechnen
Wertet das kubische Polynom a·x³ + b·x² + c·x + d an der Stelle x₀ mit dem Horner-Schema aus. Ergibt P(x₀) = 0, ist x₀ eine Nullstelle.
Arithmetische Folge (n-tes Glied) berechnen
Berechnet das n-te Glied einer arithmetischen Folge: aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Per Umstellung lassen sich auch a₁, d oder n bestimmen.
- an — n-tes Glied
- n — Gliedsnummer
- d — Differenz
- a1 — Erstes Glied
Arithmetische Reihe (Summe) berechnen
Berechnet die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge: S = n/2 · (a₁ + aₙ).
- S — Summe
- n — Anzahl Glieder
Geometrische Folge (n-tes Glied) berechnen
Berechnet das n-te Glied einer geometrischen Folge: aₙ = a₁ · q^(n − 1). Per Umstellung lassen sich auch a₁ und q bestimmen.
- an — n-tes Glied
- a1 — Erstes Glied
- q — Quotient
Geometrische Reihe (endliche Summe) berechnen
Berechnet die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge: S = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1). Für q = 1 ergibt sich S = n · a₁.
Geometrische Reihe (unendlich) berechnen
Berechnet den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe: S = a₁ / (1 − q). Konvergent nur für |q| < 1.
- S — Summe
- a1 — Erstes Glied
- q — Quotient
Harmonische Reihe (Partialsumme) berechnen
Berechnet die n-te Partialsumme der harmonischen Reihe: Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n. Die unendliche Reihe divergiert.
Gauß-Summe berechnen
Berechnet die Summe der ersten n natürlichen Zahlen: S = 1 + 2 + 3 + … + n = n · (n + 1) / 2.
- S — Summe
- n — Obere Grenze
Satz des Pythagoras berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse und a, b die Katheten sind.
- c — Hypotenuse
- a — Kathete a
- b — Kathete b
Sinus berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck gilt sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse = a / c.
- a — Gegenkathete
- c — Hypotenuse
- alpha — Winkel α
Kosinus berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck gilt cos(α) = Ankathete / Hypotenuse = b / c.
- b — Ankathete
- c — Hypotenuse
- alpha — Winkel α
Tangens berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck gilt tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = a / b.
- a — Gegenkathete
- b — Ankathete
- alpha — Winkel α
Sinussatz berechnen
In jedem Dreieck gilt a / sin(α) = b / sin(β). Damit lässt sich aus zwei Winkeln und einer Seite die Gegenseite eines weiteren Winkels berechnen.
- b — Seite b
- a — Seite a
Kosinussatz berechnen
Verallgemeinerung des Pythagoras für beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ). Berechnet Seite c oder den Winkel γ.
- c — Seite c
- gamma — Winkel γ
Grad → Bogenmaß berechnen
Wandelt Winkel zwischen Grad und Bogenmaß um: rad = deg · π / 180.
- rad — Bogenmaß
- deg — Grad
Bogenlänge berechnen
Länge des Kreisbogens zu einem Mittelpunktswinkel α (in Grad): b = r · α · π / 180.
- b — Bogenlänge
- r — Radius
- alpha — Mittelpunktswinkel
Sehnenlänge berechnen
Länge der Sehne zu einem Mittelpunktswinkel α: s = 2 · r · sin(α / 2).
- s — Sehnenlänge
- r — Radius
Dreiecksfläche (Grundseite × Höhe) berechnen
Berechnet die Fläche eines Dreiecks aus Grundseite g und zugehöriger Höhe h: A = ½ · g · h.
- A — Fläche
- g — Grundseite
- h — Höhe
Dreiecksfläche (Heron) berechnen
Heronsche Formel: aus den drei Seiten a, b, c folgt mit s = (a + b + c) / 2 die Fläche A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).
Dreiecksfläche (2 Seiten + Winkel) berechnen
Berechnet die Dreiecksfläche aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel: A = ½ · a · b · sin(γ).
Rechteckfläche berechnen
Fläche eines Rechtecks aus Länge und Breite: A = a · b.
- A — Fläche
- a — Länge
- b — Breite
Quadratfläche berechnen
Fläche eines Quadrats aus der Seitenlänge: A = a².
- A — Fläche
- a — Seitenlänge
Parallelogrammfläche berechnen
Fläche eines Parallelogramms aus Grundseite und zugehöriger Höhe: A = g · h.
- A — Fläche
- g — Grundseite
- h — Höhe
Rautenfläche berechnen
Fläche einer Raute aus den beiden Diagonalen: A = d₁ · d₂ / 2.
- A — Fläche
- d1 — Diagonale d₁
- d2 — Diagonale d₂
Trapezfläche berechnen
Fläche eines Trapezes aus den beiden parallelen Seiten und der Höhe: A = (a + c) / 2 · h.
- A — Fläche
- h — Höhe
Kreisfläche berechnen
Fläche eines Kreises aus dem Radius: A = π · r².
- A — Fläche
- r — Radius
Kreissektorfläche berechnen
Fläche eines Kreissektors aus Radius und Mittelpunktswinkel α: A = π · r² · α / 360.
- A — Fläche
- r — Radius
- alpha — Mittelpunktswinkel
Kreissegmentfläche berechnen
Fläche eines Kreissegments (vom Bogen und der Sehne begrenzt). Mit α im Bogenmaß: A = r² / 2 · (α − sin α). Eingabe von α erfolgt in Grad.
Kreisringfläche berechnen
Fläche eines Kreisrings als Differenz zweier konzentrischer Kreise: A = π · (R² − r²).
- A — Fläche
- R — Äußerer Radius
- r — Innerer Radius
Ellipsenfläche berechnen
Fläche einer Ellipse aus den beiden Halbachsen: A = π · a · b. Für a = b = r ergibt sich die Kreisfläche.
- A — Fläche
- a — Halbachse a
- b — Halbachse b
Regelmäßiges Vieleck berechnen
Fläche eines regelmäßigen n-Ecks aus Eckenzahl n und Seitenlänge a: A = n · a² / (4 · tan(π / n)).
- A — Fläche
- a — Seitenlänge
Würfel Volumen berechnen
Volumen eines Würfels mit Kantenlänge a: V = a³.
- V — Volumen
- a — Seitenlänge
Würfel Oberfläche berechnen
Oberfläche eines Würfels mit Kantenlänge a: O = 6 · a² (sechs gleich große Quadrate).
- O — Oberfläche
- a — Seitenlänge
Quader Volumen berechnen
Volumen eines Quaders mit Länge a, Breite b und Höhe c: V = a · b · c.
- V — Volumen
- a — Länge
- b — Breite
- c — Höhe
Quader Oberfläche berechnen
Oberfläche eines Quaders: O = 2 · (a·b + a·c + b·c) — die Summe der drei Rechteckpaare.
Zylinder Volumen berechnen
Volumen eines geraden Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h: V = π · r² · h.
- V — Volumen
- r — Radius
- h — Höhe
Zylinder Oberfläche berechnen
Oberfläche eines geraden Kreiszylinders inkl. Deckel und Boden: O = 2 · π · r · (r + h).
Kegel Volumen berechnen
Volumen eines geraden Kreiskegels mit Radius r und Höhe h: V = π · r² · h / 3.
- V — Volumen
- r — Radius
- h — Höhe
Kegel Oberfläche berechnen
Oberfläche eines geraden Kreiskegels inkl. Grundfläche: O = π · r · (r + s) mit Mantellinie s = √(r² + h²).
Kegel Mantelfläche berechnen
Mantelfläche eines geraden Kreiskegels (ohne Grundfläche): M = π · r · s mit Mantellinie s = √(r² + h²).
Kugel Volumen berechnen
Volumen einer Kugel mit Radius r: V = 4/3 · π · r³.
- V — Volumen
- r — Radius
Kugel Oberfläche berechnen
Oberfläche einer Kugel mit Radius r: O = 4 · π · r².
- O — Oberfläche
- r — Radius
Pyramide Volumen berechnen
Volumen einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Seite a, Höhe h): V = a² · h / 3.
- V — Volumen
- h — Höhe
- a — Grundseitenlänge
Pyramide Oberfläche berechnen
Oberfläche einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche inkl. der vier Seitendreiecke: O = a² + 2·a·√(h² + (a/2)²).
Ellipsoid Volumen berechnen
Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a, b, c: V = 4/3 · π · a · b · c.
Torus Volumen berechnen
Volumen eines Torus (Ring) mit großem Radius R (Zentrum zum Rohrzentrum) und kleinem Radius r (Rohrradius): V = 2 · π² · R · r².
Torus Oberfläche berechnen
Oberfläche eines Torus mit großem Radius R und kleinem Radius r: O = 4 · π² · R · r.
Prisma Volumen berechnen
Volumen eines geraden Prismas: V = A_g · h (Grundfläche mal Höhe). Gilt für beliebige Grundflächenform.
- V — Volumen
- Ag — Grundfläche
- h — Höhe
Prisma Oberfläche berechnen
Oberfläche eines geraden Prismas inkl. Deckel und Boden: O = 2 · A_g + U · h, mit U als Umfang der Grundfläche.
Abstand zweier Punkte (2D) berechnen
Euklidischer Abstand zweier Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂) in der Ebene: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Abstand zweier Punkte (3D) berechnen
Euklidischer Abstand zweier Punkte im Raum: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
Mittelpunkt zweier Punkte berechnen
Berechnet den Mittelpunkt M der Strecke zwischen P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂): M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Liefert beide Koordinaten als Text.
Geradengleichung (Punkt-Steigung) berechnen
Punkt-Steigungs-Form einer Geraden: y = m · (x − x₁) + y₁. Berechnet den y-Wert auf der Geraden an der Stelle x oder die x-Stelle zu einem gegebenen y.
- y — y
- x — x
Geradengleichung durch zwei Punkte berechnen
Liefert die Geradengleichung y = m·x + b durch zwei Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂). Steigung m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), Achsenabschnitt b = y₁ − m·x₁.
Steigung einer Geraden berechnen
Hauptform der Geraden y = m·x + b. Berechnet — je nach gesuchter Größe — Steigung m, Achsenabschnitt b, x-Wert oder y-Wert.
- y — y
- m — Steigung m
- b — Achsenabschnitt b
- x — x
Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
Schnittpunkt der beiden Geraden y = m₁·x + b₁ und y = m₂·x + b₂. Bei m₁ = m₂ sind die Geraden parallel (kein eindeutiger Schnittpunkt). Liefert (x; y) als Text.
Abstand Punkt–Gerade berechnen
Lotabstand eines Punktes P(x₀; y₀) von der Geraden a·x + b·y + c = 0: d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²).
Kreisgleichung berechnen
Kreis mit Mittelpunkt (h; k) und Radius r: (x − h)² + (y − k)² = r². Berechnet den oberen y-Wert auf dem Kreis zu gegebenem x.
Schnittpunkt Gerade–Kreis berechnen
Untersucht die Schnittlage der Geraden y = m·x + b mit dem Kreis x² + y² = r². Diskriminante D = r² · (1 + m²) − b² entscheidet: D > 0 zwei Schnittpunkte, D = 0 Tangente, D < 0 kein Schnittpunkt.
Skalarprodukt (2D) berechnen
Skalarprodukt zweier ebener Vektoren a = (a₁; a₂) und b = (b₁; b₂): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.
Skalarprodukt (3D) berechnen
Skalarprodukt zweier räumlicher Vektoren a = (a₁; a₂; a₃) und b = (b₁; b₂; b₃): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.
Kreuzprodukt (Betrag) berechnen
Betrag des Kreuzprodukts zweier räumlicher Vektoren: |a × b| = √(c_x² + c_y² + c_z²) mit c_x = a₂·b₃ − a₃·b₂, c_y = a₃·b₁ − a₁·b₃, c_z = a₁·b₂ − a₂·b₁. Entspricht zugleich der Fläche des aufgespannten Parallelogramms.
Vektorbetrag (2D) berechnen
Länge eines ebenen Vektors a = (a₁; a₂): |a| = √(a₁² + a₂²).
Vektorbetrag (3D) berechnen
Länge eines räumlichen Vektors a = (a₁; a₂; a₃): |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).
Winkel zwischen Vektoren berechnen
Schließwinkel φ zwischen zwei ebenen Vektoren: cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|). Ergebnis in Grad.
Vektorprojektion berechnen
Skalare Projektion des Vektors a auf den Vektor b in der Ebene: proj_b(a) = (a · b) / |b|. Liefert die Länge des Schattens von a in Richtung b (vorzeichenbehaftet).
Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren berechnen
Fläche des von zwei ebenen Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms: A = |a₁·b₂ − a₂·b₁|. Entspricht dem Betrag der z-Komponente des Kreuzprodukts.
Potenzregel berechnen
Für f(x) = a · xⁿ gilt f'(x) = a · n · x^(n − 1). Berechnet den Wert der Ableitung an einer Stelle x.
Produktregel berechnen
(f · g)' = f' · g + f · g'. Berechnet die Ableitung eines Produkts aus den Werten von f, f', g und g' an einer Stelle.
Quotientenregel berechnen
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g². Berechnet die Ableitung eines Quotienten aus den Werten von f, f', g und g'.
Kettenregel berechnen
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Multipliziert äußere und innere Ableitung zur Ableitung verketteter Funktionen.
Tangentensteigung berechnen
Numerische Ableitung über den zentralen Differenzenquotienten: f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h).
Normalensteigung berechnen
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente: m_n = −1 / m_t. Aus der Tangentensteigung folgt die Normalensteigung — und umgekehrt.
- mn — Normalensteigung m_n
- mt — Tangentensteigung m_t
Extremstellen berechnen
Notwendige Bedingung: f'(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung über das Vorzeichen von f''(x₀): f'' > 0 ⇒ Minimum, f'' < 0 ⇒ Maximum, f'' = 0 ⇒ Sattelpunkt (weitere Prüfung nötig).
Wendepunkte berechnen
Notwendige Bedingung: f''(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x₀) ≠ 0 ⇒ Wendepunkt liegt vor.
Linearisierung berechnen
L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a). Tangentennäherung von f an der Entwicklungsstelle a, ausgewertet an einer Stelle x.
Trapezregel berechnen
Numerische Integration über ein einzelnes Trapez: I ≈ (b − a) / 2 · (f(a) + f(b)). Schnelle Näherung für ein bestimmtes Integral, wenn nur die Funktionswerte an den Grenzen bekannt sind.
Simpsonregel berechnen
Numerische Integration mit einer Parabel als Näherung: I ≈ (b − a) / 6 · (f(a) + 4 · f(m) + f(b)) mit m = (a + b) / 2. Deutlich genauer als die Trapezregel.
Fläche unter Kurve berechnen
Bestimmtes Integral über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: A = F(b) − F(a). Eingabe sind die Werte einer Stammfunktion F an den beiden Grenzen.
Fläche zwischen Kurven berechnen
Fläche zwischen zwei Funktionen f und g über demselben Intervall: A = | ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx |. Eingabe sind die bereits berechneten bestimmten Integrale beider Funktionen.
Rotationsvolumen berechnen
Volumen des Körpers, der durch Rotation einer Kurve y = f(x) um die x-Achse entsteht: V = π · ∫ [f(x)]² dx. Eingabe ist das Integral von f(x)² über [a, b].
Bogenlänge (Integral) berechnen
Länge einer Kurve y = f(x) über [a, b]: L = ∫ √(1 + [f'(x)]²) dx. Eingabe ist das bereits berechnete Integral — der Rechner reicht es als Bogenlänge durch.
Arithmetisches Mittel berechnen
Der klassische Durchschnitt: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Eingabe als kommagetrennte Liste.
Geometrisches Mittel berechnen
G = (x₁ · x₂ · … · xₙ)^(1/n) — Standard-Mittel für Wachstumsraten und Renditen. Alle Werte müssen positiv sein.
Harmonisches Mittel berechnen
H = n / Σ(1/xᵢ) — passend bei Verhältnissen wie Durchschnittsgeschwindigkeit oder Stückkosten. Alle Werte ungleich 0.
Median berechnen
Zentralwert einer sortierten Datenreihe. Bei ungeradem n der mittlere Wert, bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren.
Modalwert berechnen
Der häufigste Wert in einer Datenreihe. Bei mehreren gleich häufigen Werten ist die Verteilung bi- oder multimodal — der Rechner gibt dann alle aus.
Varianz berechnen
Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n. (Populations-Varianz, Teiler n.)
Standardabweichung berechnen
σ = √(Varianz). Streuung in der gleichen Einheit wie die Daten — das gängigste Streumaß überhaupt.
Spannweite berechnen
R = x_max − x_min. Einfachstes Streumaß — anfällig für Ausreißer, aber schnell zu berechnen.
Quartilsabstand (IQR) berechnen
IQR = Q₃ − Q₁ — der mittlere 50-%-Bereich. Robustes Streumaß, weil unempfindlich gegenüber Ausreißern. Liefert Q₁, Q₃ und den Abstand.
Pearson-Korrelationskoeffizient berechnen
r misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier Reihen: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Werte zwischen −1 und +1.
Lineare Regression (Steigung) berechnen
Steigung b der Ausgleichsgeraden y = b·x + a nach der Methode der kleinsten Quadrate: b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)².
Lineare Regression (Achsenabschnitt) berechnen
Achsenabschnitt a der Ausgleichsgeraden y = b·x + a. Aus der Bedingung, dass die Gerade durch (x̄; ȳ) verläuft, folgt a = ȳ − b·x̄.
Wahrscheinlichkeit (klassisch) berechnen
P(E) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse — Laplace-Wahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Ausgängen.
- P — Wahrscheinlichkeit
- g — Günstige Ergebnisse
- m — Mögliche Ergebnisse
Gegenwahrscheinlichkeit berechnen
P(Ē) = 1 − P(E). Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt — oft schneller zu berechnen als das Ereignis selbst.
- Pg — P(Ē)
- P — P(E)
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist.
- PAcB — P(A | B)
- PAB — P(A ∩ B)
Satz von Bayes berechnen
P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B). Umkehrung einer bedingten Wahrscheinlichkeit — Grundlage diagnostischer Tests, Spam-Filter und vieler KI-Verfahren.
Binomialverteilung (einzeln) berechnen
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) — Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen mit Einzelerfolgswahrscheinlichkeit p.
Binomialverteilung (kumuliert) berechnen
P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · p^i · (1 − p)^(n − i) — Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge.
z-Standardisierung berechnen
z = (x − μ) / σ. Wandelt einen normalverteilten Messwert in einen Standard-Normalverteilungs-Wert um (Abstand zum Mittelwert in Standardabweichungen).
- z — z-Wert
- x — Messwert
Erwartungswert berechnen
E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ) — mit Wahrscheinlichkeiten gewichtetes Mittel der möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen.
Varianz (diskret) berechnen
Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(xᵢ) — Streumaß einer diskreten Zufallsvariablen. Liefert sowohl E(X) als auch Var(X).
Permutation (ohne Wiederholung) berechnen
P(n, k) = n! / (n − k)! — Anzahl der geordneten Auswahlen von k Elementen aus n, ohne Zurücklegen.
Permutation (mit Wiederholung) berechnen
P = n^k — Anzahl der Möglichkeiten, k Plätze mit n verschiedenen Optionen zu besetzen (Reihenfolge wichtig, Wiederholung erlaubt).
Kombination (ohne Wiederholung) berechnen
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) — Anzahl der ungeordneten Auswahlen von k aus n Elementen (Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen).
Einfache Verzinsung berechnen
Berechnet den Zinsbetrag Z aus Kapital K, Zinssatz p und Laufzeit t bei einfacher (linearer) Verzinsung — ohne Zinseszins-Effekt.
- Z — Zinsen
- K — Kapital
- p — Zinssatz
- t — Laufzeit
Zinseszins (Endkapital) berechnen
Berechnet das Endkapital Kn nach n Jahren mit jährlicher Wiederanlage der Zinsen — die klassische Zinseszinsformel.
- Kn — Endkapital
- K0 — Anfangskapital
Zinseszins (Zinssatz) berechnen
Berechnet den durchschnittlichen jährlichen Zinssatz p aus Anfangs- und Endkapital sowie Laufzeit — die effektive Rendite bei Zinseszins.
Zinseszins (Laufzeit) berechnen
Berechnet, wie viele Jahre n nötig sind, um bei einem gegebenen Zinssatz vom Anfangskapital K0 zum Zielkapital Kn zu wachsen.
Barwert berechnen
Berechnet den heutigen Wert (Barwert) eines zukünftigen Betrags durch Abzinsen mit Zinssatz p über n Jahre — Grundoperation der Investitionsrechnung.
- BW — Barwert
- Kn — Zukünftiger Wert
Rente nachschüssig (Endwert) berechnen
Berechnet den Endwert Rn einer nachschüssigen Rente — gleich hohe Raten r werden jeweils am Ende des Jahres eingezahlt und bis zum Laufzeitende verzinst.
Rente vorschüssig (Endwert) berechnen
Berechnet den Endwert Rn einer vorschüssigen Rente — die Raten r werden jeweils zu Beginn des Jahres eingezahlt und ein Jahr länger verzinst als bei nachschüssiger Zahlung.
Annuität berechnen
Berechnet die jährliche Annuität A — den konstanten Betrag aus Zins und Tilgung, mit dem ein Kredit über n Jahre vollständig zurückgezahlt wird.
Rabatt & Skonto berechnen
Berechnet den Endpreis E nach Abzug eines Rabatts oder Skontos R vom Originalpreis P — und stellt sich nach jeder Variable um.
- E — Endpreis
- P — Originalpreis
- R — Rabatt
MwSt: Netto zu Brutto berechnen
Berechnet den Bruttobetrag aus einem Nettobetrag und dem Mehrwertsteuersatz — automatisch auch in der Umkehrung nutzbar.
- Brutto — Bruttobetrag
- Netto — Nettobetrag
- MwSt — Mehrwertsteuersatz
MwSt: Brutto zu Netto berechnen
Berechnet den Nettobetrag aus einem Bruttobetrag und dem Mehrwertsteuersatz — die übliche Operation beim Herausrechnen der Umsatzsteuer.
- Netto — Nettobetrag
- Brutto — Bruttobetrag
Addition komplexer Zahlen berechnen
Summe zweier komplexer Zahlen z₁ = a₁ + b₁·i und z₂ = a₂ + b₂·i: Real- und Imaginärteil werden komponentenweise addiert.
Multiplikation komplexer Zahlen berechnen
Produkt zweier komplexer Zahlen: (a₁ + b₁·i)(a₂ + b₂·i) = (a₁·a₂ − b₁·b₂) + (a₁·b₂ + a₂·b₁)·i. Folgt direkt aus i² = −1.
Betrag einer komplexen Zahl berechnen
Länge des Zeigers in der Gaußschen Zahlenebene: |z| = √(a² + b²). Entspricht dem euklidischen Abstand vom Ursprung.
Argument einer komplexen Zahl berechnen
Winkel φ des Zeigers z = a + b·i gegen die positive Realachse: arg(z) = atan2(b, a). Ergebnis in Grad im Bereich (−180°; 180°].
Polarform → kartesisch berechnen
Wandelt die Polarform z = r · (cos(φ) + i · sin(φ)) in die kartesische Form a + b·i um. Eingabewinkel in Grad.
Konjugiert komplexe Zahl berechnen
Spiegelung an der Realachse: z̄ = a − b·i. Real- bleibt, Imaginärteil wechselt das Vorzeichen. Zentral für Division und Betragsquadrat (z · z̄ = a² + b²).
Division komplexer Zahlen berechnen
Quotient zweier komplexer Zahlen: z₁ / z₂ = (a₁·a₂ + b₁·b₂) / (a₂² + b₂²) + (a₂·b₁ − a₁·b₂) / (a₂² + b₂²) · i. Berechnet durch Erweitern mit der Konjugierten von z₂.