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Varianz (diskret)

Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(xᵢ) — Streumaß einer diskreten Zufallsvariablen. Liefert sowohl E(X) als auch Var(X).

Varianz (diskret)

01 · Eingabe

Varianz (diskret) berechnen

Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(xᵢ) — Streumaß einer diskreten Zufallsvariablen. Liefert sowohl E(X) als auch Var(X).

E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ); Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(xᵢ)

X Werte xᵢ

Pp Wahrsch. P(xᵢ)

Was ist die Varianz einer Zufallsvariablen?

Während die deskriptive Varianz die Streuung einer Datenreihe beschreibt, misst die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen X die Streuung der Ausgänge des Zufallsexperiments um den Erwartungswert E(X).

Sie zeigt, wie weit die möglichen Werte typischerweise um E(X) schwanken — also wie risikoreich das Experiment ist.

Der Rechner liefert E(X), Var(X) und die Standardabweichung σ = √Var(X) zusammen.

Die Formel

Formel Diskrete Varianz

E(X)   = Σᵢ xᵢ · P(xᵢ)

Var(X) = Σᵢ (xᵢ − E(X))² · P(xᵢ)

σ      = √Var(X)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
xᵢ	Mögliche Werte	beliebig	Ausgänge der Zufallsvariablen.
P(xᵢ)	Wahrscheinl.	—	Eintrittswahrscheinlichkeiten; Σ = 1.
E(X)	Erwartungswert	wie xᵢ	Mittelwert der Verteilung.
Var(X)	Varianz	(Einheit xᵢ)²	Streuung im Quadrat.

Minimal-Beispiel

Fairer Würfel (E(X) = 3,5):

Rechnung Würfel

Var(X) = (1−3,5)² · 1/6 + (2−3,5)² · 1/6 + …  + (6−3,5)² · 1/6

       = (6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25) / 6
       = 17,5 / 6
       ≈ 2,9167

σ ≈ 1,71

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lotteriespiel

Werte: 0, 50, 1.000 € mit P = 0,989; 0,01; 0,001. Aus dem Beispiel zum Erwartungswert: E ≈ 1,50 €.

Rechnung Lotterie

Var = (0 − 1,5)²    · 0,989
    + (50 − 1,5)²   · 0,01
    + (1000 − 1,5)² · 0,001

    ≈ 2,2253 + 23,5225 + 997,00
    ≈ 1.022,75

σ ≈ 31,98 €

→ enorme Streuung im Verhältnis zu E(X) = 1,50 € —
  typische Lotterie-Risikostruktur.

Beispiel 2 — Versicherung

Auszahlung 0 € (P = 0,98) oder 5.000 € (P = 0,02). E(X) = 100 €.

Rechnung Versicherung

Var = (0 − 100)²    · 0,98 + (5000 − 100)² · 0,02
    = 10.000 · 0,98 + 24.010.000 · 0,02
    = 9.800 + 480.200
    = 490.000

σ ≈ 700 €

→ erhebliches Risiko pro Police — Versicherer brauchen
  viele Verträge, damit das Risiko über das Gesetz der
  großen Zahlen ausmittelt.

Beispiel 3 — Investment-Vergleich

Investment A: 1 % oder 9 % Rendite, je P = 0,5. Investment B: −10 % oder +20 % Rendite, je P = 0,5.

Rechnung Risiko-Vergleich

A: E = 5 %, Var = (1−5)²·0,5 + (9−5)²·0,5 = 16,  σ = 4 %
B: E = 5 %, Var = (−10−5)²·0,5 + (20−5)²·0,5 = 225, σ = 15 %

Gleiche Rendite, aber B hat ein vielfaches Risiko.

Beispiel 4 — Binomialverteilung als Spezialfall

X ~ Bin(n = 10; p = 0,3).

Rechnung Binomial

E(X)   = n · p          = 3,0
Var(X) = n · p · (1−p)  = 10 · 0,3 · 0,7 = 2,1
σ      = √2,1 ≈ 1,449