Varianz

Was ist die Varianz?

Die Varianz misst, wie stark eine Datenreihe um ihren Mittelwert streut. Sie ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen und damit immer ≥ 0. Eine Varianz von 0 bedeutet: alle Werte sind identisch.

Das Quadrieren der Abweichungen hat zwei Effekte:

• Positive und negative Abweichungen heben sich nicht gegenseitig auf.
• Große Abweichungen werden überproportional gewichtet — Ausreißer fallen stark ins Gewicht.

Da die Varianz in quadrierten Einheiten vorliegt, wird in der Praxis meist die Standardabweichung σ = √σ² verwendet, die wieder in der Original-Einheit ist.

Hinweis: Der Rechner verwendet die Populations-Varianz (Teiler n). Für die Stichprobenvarianz (Teiler n − 1) müsste mit n/(n − 1) skaliert werden.

Die Formel

σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n

mit x̄ = Σxᵢ / n

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Varianz von 2, 4, 6:

x̄ = (2 + 4 + 6) / 3 = 4
Abweichungen:  −2,  0,  +2
Quadrate:        4,  0,   4
Summe der Quadrate = 8

σ² = 8 / 3 ≈ 2,67

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Konstante Reihe

Varianz von 5, 5, 5, 5:

Alle Abweichungen = 0
σ² = 0

→ keine Streuung.

Beispiel 2 — Qualitätsprüfung Fertigung

Längen-Stichproben (mm): 49,9; 50,1; 50,0; 50,2; 49,8.

x̄ = 50,0 mm
Abweichungen:  −0,1; +0,1; 0; +0,2; −0,2
Quadrate:       0,01; 0,01; 0; 0,04; 0,04
Summe = 0,10

σ² = 0,10 / 5 = 0,02 mm²
σ  = √0,02 ≈ 0,14 mm

Beispiel 3 — Klausurnoten

Sechs Noten: 1, 2, 2, 3, 4, 4. Mittelwert = 16/6 ≈ 2,67.

Abw.: −1,67; −0,67; −0,67; 0,33; 1,33; 1,33
Quadrate: 2,78; 0,44; 0,44; 0,11; 1,78; 1,78
Summe ≈ 7,33

σ² ≈ 7,33 / 6 ≈ 1,22

Beispiel 4 — Vergleich zweier Investments

Renditen Fonds A: 4, 5, 6, 5, 4 % → σ²_A = 0,4. Renditen Fonds B: −2, 12, 3, 8, −1 % → σ²_B ≈ 32,8.

Beide Fonds haben Mittelwert ≈ 4 %.
Aber σ²_B ist viel größer  →  Fonds B ist viel volatiler
und damit das risikoreichere Investment.