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Lineare Regression (Achsenabschnitt)

Achsenabschnitt a der Ausgleichsgeraden y = b·x + a. Aus der Bedingung, dass die Gerade durch (x̄; ȳ) verläuft, folgt a = ȳ − b·x̄.

01 · Eingabe

Lineare Regression (Achsenabschnitt) berechnen

Achsenabschnitt a der Ausgleichsgeraden y = b·x + a. Aus der Bedingung, dass die Gerade durch (x̄; ȳ) verläuft, folgt a = ȳ − b·x̄.

y = b · x + a; b = Sxy / Sxx; a = ȳ − b · x̄

X x-Werte

Y y-Werte

Was ist der Achsenabschnitt?

Die Ausgleichsgerade der linearen Regression hat die Form y = b · x + a. Der Achsenabschnitt a ist der y-Wert, den die Gerade an der Stelle x = 0 annimmt — also der theoretische Startwert.

Die Gerade verläuft immer durch den Schwerpunkt der Punktwolke (x̄; ȳ). Aus dieser Bedingung folgt direkt:

a = ȳ − b · x̄

Damit ist a vollständig durch die Mittelwerte und die Steigung bestimmt. Der Rechner berechnet beide Parameter zusammen und gibt die Gleichung y = b · x + a fertig formuliert aus.

Die Formel

Formel Achsenabschnitt

b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²
a = ȳ − b · x̄

Gerade: y = b · x + a

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
xᵢ	x-Werte	beliebig	x-Reihe der Datenpunkte.
yᵢ	y-Werte	beliebig	y-Reihe der Datenpunkte.
x̄, ȳ	Mittelwerte	wie xᵢ/yᵢ	Mittel der jeweiligen Reihe.
b	Steigung	yᵢ / xᵢ	Regressionssteigung.
a	Achsenabschnitt	wie yᵢ	y-Wert der Geraden bei x = 0.

Minimal-Beispiel

x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5:

Rechnung Beispiel

x̄ = 3;  ȳ = 4
b = 0,6

a = ȳ − b · x̄
  = 4 − 0,6 · 3
  = 2,2

Gerade: y = 0,6 · x + 2,2

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Werbung & Umsatz

Aus dem Beispiel der Regressions-Steigung: x̄ = 15 k€, ȳ = 91 k€, b = 4,0.

Rechnung Werbung

a = 91 − 4,0 · 15
  = 91 − 60
  = 31

Gerade: Umsatz = 4 · Werbung + 31 (in 1.000 €)

Bei 0 € Werbung läge der erwartete Umsatz bei 31 k€
(modellierte Grundlast).

Beispiel 2 — Heizölverbrauch

x̄ = 10 °C, ȳ = 13,4 l, b ≈ −0,71.

Rechnung Heizöl-Achsenabschnitt

a = 13,4 − (−0,71) · 10
  = 13,4 + 7,1
  = 20,5 l/Tag

Gerade: Verbrauch = −0,71 · T + 20,5

Bei 0 °C werden im Mittel 20,5 l/Tag verheizt.

Beispiel 3 — Lernzeit-Modell

x̄ = 6 h, ȳ = 75 Pkt., b = 2,5.

Rechnung Lernen

a = 75 − 2,5 · 6 = 60

Gerade: Punkte = 2,5 · Stunden + 60

Ohne Lernzeit: erwartete Grundpunktzahl = 60 Pkt.

Beispiel 4 — Prognose mit der Geraden

Aus dem Lernzeit-Modell: Wie viele Punkte sind bei 12 Stunden Lernzeit zu erwarten?

Rechnung Prognose

ŷ = 2,5 · 12 + 60 = 90 Punkte

Hinweis: 12 h liegt außerhalb des beobachteten
Bereichs (max. 10 h). Solche Extrapolationen sind
immer mit Vorsicht zu lesen.