/ Statistik & Wahrscheinlichkeit

Permutation (ohne Wiederholung)

P(n, k) = n! / (n − k)! — Anzahl der geordneten Auswahlen von k Elementen aus n, ohne Zurücklegen.

01 · Eingabe

Permutation (ohne Wiederholung) berechnen

P(n, k) = n! / (n − k)! — Anzahl der geordneten Auswahlen von k Elementen aus n, ohne Zurücklegen.

P(n, k) = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) = n! / (n − k)!

n Gesamtanzahl

k Auswahl

Was ist eine Permutation?

Eine Permutation ohne Wiederholung zählt die Anzahl der geordneten Auswahlmöglichkeiten, k Elemente aus n verschiedenen Elementen zu ziehen — ohne dass ein Element doppelt vorkommen kann (Ziehen ohne Zurücklegen).

Wichtig: anders als bei der Kombination zählt hier die Reihenfolge. (A, B, C) und (C, B, A) sind verschiedene Permutationen.

Spezialfall k = n: alle Elemente werden in eine Reihenfolge gebracht — es gibt genau n! Permutationen.

Die Formel

Formel Permutation

P(n, k) = n! / (n − k)!

        = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1)

Spezialfall k = n:   P(n, n) = n!

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Gesamtanzahl	—	Anzahl verfügbarer Elemente.
k	Auswahl	—	Anzahl der zu besetzenden Plätze (k ≤ n).
P(n,k)	Permutationen	—	Anzahl geordneter Auswahlen.

Minimal-Beispiel

Wie viele 3er-Reihenfolgen aus 5 Elementen?

Rechnung Beispiel

n = 5, k = 3

P(5, 3) = 5! / (5 − 3)!
        = 5! / 2!
        = 120 / 2
        = 60

oder:   5 · 4 · 3 = 60

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Podestplätze beim 100-m-Lauf

Bei einem Finale mit 8 Läufern: Wie viele unterschiedliche Belegungen für Gold, Silber, Bronze sind möglich?

Rechnung Podest

n = 8, k = 3

P(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336

Beispiel 2 — Vorstand bilden

Aus 10 Mitgliedern werden Vorsitzende, Stellvertretung und Kassenwart gewählt (Reihenfolge zählt!):

Rechnung Vorstand

n = 10, k = 3

P(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720

Beispiel 3 — Alle Sitzplätze tauschen

Acht Personen sollen an einem geraden Tisch sitzen. Wie viele Sitzordnungen?

Rechnung Sitzordnung

n = 8, k = 8

P(8, 8) = 8! = 40.320

Beispiel 4 — Buchstaben-Code

Aus dem Alphabet (26 Buchstaben) wird ein Code aus 4 verschiedenen Buchstaben gebildet:

Rechnung Code

n = 26, k = 4

P(26, 4) = 26 · 25 · 24 · 23 = 358.800

Beispiel 5 — Pferderennen

Bei 12 Pferden: Wie viele mögliche Reihenfolgen für die ersten 4 Plätze?

Rechnung Pferderennen

n = 12, k = 4

P(12, 4) = 12 · 11 · 10 · 9 = 11.880