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Pearson-Korrelationskoeffizient

r misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier Reihen: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Werte zwischen −1 und +1.

01 · Eingabe

Pearson-Korrelationskoeffizient berechnen

r misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier Reihen: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Werte zwischen −1 und +1.

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²)

X x-Werte

Y y-Werte

Was ist die Pearson-Korrelation?

Der Pearson-Korrelationskoeffizient r misst, wie stark zwei Größen linear zusammenhängen. Er liegt stets im Bereich −1 ≤ r ≤ +1:

r = +1 perfekter positiver linearer Zusammenhang
r ≈ +0,7 starker positiver Zusammenhang
r ≈ 0 kein linearer Zusammenhang
r ≈ −0,7 starker negativer Zusammenhang
r = −1 perfekter negativer linearer Zusammenhang

Wichtig: r misst nur lineare Abhängigkeit. Bei nichtlinearen Zusammenhängen (z. B. y = x²) kann r ≈ 0 sein, obwohl ein klarer Zusammenhang existiert. Außerdem: Korrelation ≠ Kausalität.

Die Formel

Formel Pearson-Korrelation

         Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
r  =  ─────────────────────────────
      √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
xᵢ	x-Werte	beliebig	n Werte der ersten Datenreihe.
yᵢ	y-Werte	beliebig	n Werte der zweiten Datenreihe.
x̄, ȳ	Mittelwerte	wie xᵢ/yᵢ	Arithmetische Mittel der Reihen.
r	Korrelation	—	Pearson-r ∈ [−1, +1].

Minimal-Beispiel

x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5:

Rechnung Beispiel

x̄ = 3,    ȳ = 4

Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = (−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1)
                  = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6
Σ(xᵢ − x̄)² = 10
Σ(yᵢ − ȳ)² = 6

r = 6 / √(10 · 6)
  = 6 / √60
  ≈ 0,7746

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lernzeit & Klausurpunkte

Lernstunden: 2, 4, 6, 8, 10. Punkte: 55, 65, 75, 85, 95.

Rechnung Lernen

Perfekte Lineargerade — r = +1.

Interpretation: Lernzeit erklärt hier 100 %
der Punkteunterschiede (Bestimmtheitsmaß R² = 1).

Beispiel 2 — Außentemperatur & Heizkosten

Temperatur (°C): 0, 5, 10, 15, 20. Kosten (€): 95, 80, 65, 50, 30.

Rechnung Heizkosten

Mit steigender Temperatur sinken die Kosten linear.
r ≈ −0,998

→ starker negativer Zusammenhang.

Beispiel 3 — Schuhgröße & Mathenote

Schuhgröße: 36, 38, 41, 43, 45. Mathenote: 2, 3, 1, 4, 2.

Rechnung Kein Zusammenhang

x̄ = 40,6;  ȳ = 2,4

Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ≈ 0,2
r ≈ 0,02

→ praktisch kein linearer Zusammenhang.

Beispiel 4 — Werbung & Umsatz

Werbeausgaben (k€): 5, 10, 15, 20, 25, 30. Umsatz (k€): 50, 70, 95, 110, 130, 155.

Rechnung Werbung

x̄ = 17,5;  ȳ = 101,67

r ≈ +0,997
→ sehr starker positiver Zusammenhang.

Aber Vorsicht: Korrelation belegt nicht, dass Werbung
den Umsatz verursacht — vielleicht steigt beides
gemeinsam mit dem Markt.

Beispiel 5 — Nichtlinearer Fall

x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. y = x²: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9.

Rechnung Parabel

Symmetrisch um x = 0, daher
Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = 0  →  r = 0

Obwohl y = x² ein perfekter Zusammenhang ist,
ist er nicht LINEAR. Pearson „sieht" ihn nicht.