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Binomialverteilung (kumuliert)

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · p^i · (1 − p)^(n − i) — Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge.

01 · Eingabe

Binomialverteilung (kumuliert) berechnen

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · p^i · (1 − p)^(n − i) — Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge.

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · p^i · (1 − p)^(n − i)

n Versuche

k Obere Grenze

p Erfolgswahrsch.

Was ist die kumulierte Binomialverteilung?

Die kumulierte Binomialverteilung P(X ≤ k) summiert die Einzelwahrscheinlichkeiten von 0, 1, …, k Erfolgen. Sie beantwortet Aufgaben mit „höchstens k Erfolge" oder lässt sich leicht in „mindestens"-Fragen umformen:

P(X ≤ k) — höchstens k Erfolge
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) — mindestens k Erfolge
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1) — Intervall

Sie ist die diskrete Verteilungsfunktion der Binomialverteilung.

Die Formel

Formel Kumulierte Binomialverteilung

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ  C(n, i) · p^i · (1 − p)^(n − i)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Versuche	—	Anzahl unabhängiger Versuche.
k	Obere Grenze	—	Maximale Anzahl Erfolge (0 ≤ k ≤ n).
p	Erfolgswahrsch.	—	Einzelerfolgswahrscheinlichkeit.
P	P(X ≤ k)	—	Kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Minimal-Beispiel

10 Münzwürfe, höchstens 4-mal Kopf:

Rechnung Beispiel

n = 10,  k = 4,  p = 0,5

Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für i = 0..4:
P(X ≤ 4) ≈ 0,3770 = 37,70 %

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Mindestens 5 von 10

Aus dem Minimalbeispiel mit Gegenwahrscheinlichkeit:

Rechnung Mindestens

P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4)
         = 1 − 0,3770
         = 0,6230 ≈ 62,30 %

Beispiel 2 — Qualitätskontrolle

p = 0,02 Defekt-Rate, n = 50 Stück. Charge wird akzeptiert, wenn ≤ 2 defekt.

Rechnung Charge akzeptieren

n = 50,  k = 2,  p = 0,02

P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2)
         ≈ 0,3642 + 0,3716 + 0,1858
         ≈ 0,9216 ≈ 92,16 %

→ Charge wird mit über 92 % Wahrscheinlichkeit
  akzeptiert.

Beispiel 3 — Klausur „Bestehen"

Eine MC-Klausur hat 20 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten. Zum Bestehen sind ≥ 8 richtige nötig. Wie groß ist die Erfolgswahrscheinlichkeit beim Raten?

Rechnung Bestehen durch Raten

n = 20,  p = 0,25

P(X ≤ 7) ≈ 0,8982
P(X ≥ 8) = 1 − 0,8982 ≈ 0,1018 ≈ 10,18 %

Beispiel 4 — Conversion-Rate

Eine Anzeige hat eine Click-Rate von 4 %. 200 Einblendungen, Frage: Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Klicks?

Rechnung Online-Werbung

n = 200,  k = 5,  p = 0,04

E(X) = 8 Klicks (zur Orientierung)
P(X ≤ 5) ≈ 0,1908 ≈ 19,1 %

→ Selbst bei „guter" Kampagne 19 % Risiko,
  unter 6 Klicks zu bleiben.

Beispiel 5 — Intervall „zwischen a und b"

n = 30, p = 0,4. Wahrscheinlichkeit für 10 bis 14 Erfolge?

Rechnung Intervall

P(10 ≤ X ≤ 14) = P(X ≤ 14) − P(X ≤ 9)
               ≈ 0,7975 − 0,2855
               ≈ 0,5120 ≈ 51,2 %