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Standardabweichung

σ = √(Varianz). Streuung in der gleichen Einheit wie die Daten — das gängigste Streumaß überhaupt.

Standardabweichung

01 · Eingabe

Standardabweichung berechnen

σ = √(Varianz). Streuung in der gleichen Einheit wie die Daten — das gängigste Streumaß überhaupt.

σ = √(σ²) = √(Σ(xᵢ − x̄)² / n)

L Werte

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung σ ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie misst die typische Abweichung der Daten vom Mittelwert — und das in der gleichen Einheit wie die Werte selbst. Genau deshalb wird sie der Varianz in der Praxis fast immer vorgezogen.

Bei normalverteilten Daten gilt die berühmte 68-95-99,7-Regel:

ca. 68 % aller Werte liegen im Bereich x̄ ± 1σ
ca. 95 % im Bereich x̄ ± 2σ
ca. 99,7 % im Bereich x̄ ± 3σ

Die Formel

Formel Standardabweichung

σ = √(σ²)

  = √(Σ(xᵢ − x̄)² / n)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
xᵢ	Einzelwerte	beliebig	Datenwerte der Reihe.
x̄	Mittelwert	wie xᵢ	Arithmetisches Mittel.
n	Anzahl	—	Anzahl der Werte.
σ	Standardabweichung	wie xᵢ	Wurzel der Varianz.

Minimal-Beispiel

Standardabweichung von 2, 4, 6:

Rechnung Beispiel

x̄  = 4
σ² = ((−2)² + 0² + 2²) / 3 = 8 / 3 ≈ 2,67
σ  = √(8/3) ≈ 1,63

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Körpergrößen einer Klasse

Werte (cm): 170, 175, 168, 180, 172, 174, 178, 176.

Rechnung Größen

x̄ ≈ 174,1 cm

Σ(xᵢ − x̄)² ≈ 108,9
σ² ≈ 108,9 / 8 ≈ 13,6
σ  ≈ 3,69 cm

Beispiel 2 — Qualitätskontrolle

Eine Maschine soll Bolzen mit 10,00 mm Länge fertigen. σ = 0,02 mm. Eine Schicht liefert Werte 10,03; 9,98; 10,01; 10,04.

Rechnung QC-Grenzen

Toleranz ± 3σ:  9,94 .. 10,06 mm
Alle Werte liegen im Toleranzfenster.

Beispiel 3 — Aktienrendite (Risikomaß)

Tägliche Renditen (%): 0,5; −0,3; 1,2; −0,8; 0,4; 0,9; −0,1.

Rechnung Volatilität

x̄ ≈ 0,257 %
σ ≈ 0,65 %

Annualisiert: σ_Jahr ≈ σ_Tag · √252 ≈ 10,3 %

Beispiel 4 — Intelligenz-Quotient

Per Definition ist der IQ so skaliert, dass μ = 100 und σ = 15. Für einen IQ von 130:

Rechnung IQ

Abstand zum Mittelwert: 130 − 100 = 30
in Einheiten von σ:     30 / 15 = 2

→ IQ 130 liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittel
→ ca. 97,7 % der Bevölkerung haben einen niedrigeren IQ.

Beispiel 5 — Konstante Reihe

5, 5, 5, 5 → σ² = 0 → σ = 0 (keine Streuung).