z-Standardisierung

Was bedeutet z-Standardisierung?

Die z-Standardisierung rechnet einen Messwert x einer normalverteilten Größe in einen z-Wert um — den Abstand zum Mittelwert μ, ausgedrückt in Vielfachen der Standardabweichung σ.

z-Werte sind dimensionslos und immer auf die Standard-Normalverteilung N(0; 1) bezogen. Damit lassen sich Messwerte unterschiedlicher Skalen direkt vergleichen und Tabellen-Wahrscheinlichkeiten (Φ-Tabelle) ablesen.

Faustregeln:

• |z| ≤ 1 → in der „Mitte" (ca. 68 % der Werte)
• |z| ≤ 2 → eher randständig (ca. 95 %)
• |z| ≥ 3 → praktisch Ausreißer (ca. 99,7 % aller Werte liegen darunter in |z|)

Die Formel

z = (x − μ) / σ

Rückrechnung:
x = z · σ + μ

Die Variablen

Minimal-Beispiel

x = 130, μ = 100, σ = 15:

z = (130 − 100) / 15
  = 30 / 15
  = 2,0

→ x liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittel.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — IQ vergleichen

Person A: IQ 115. Person B: 130. Standardisiert (μ = 100, σ = 15):

z_A = (115 − 100) / 15 = 1,00
z_B = (130 − 100) / 15 = 2,00

→ B liegt doppelt so weit über dem Mittelwert wie A.

Beispiel 2 — Klausur über mehrere Kurse

Schülerin S erreicht 78 Punkte in Mathe (μ = 65, σ = 10) und 82 Punkte in Bio (μ = 75, σ = 8). In welchem Fach war sie relativ besser?

z_Mathe = (78 − 65) / 10 = 1,3
z_Bio   = (82 − 75) / 8  = 0,875

→ In Mathe stand sie relativ besser (z = 1,3 > 0,875).

Beispiel 3 — Wahrscheinlichkeit über Φ-Tabelle

Eine normalverteilte Füllmenge hat μ = 500 ml, σ = 5 ml. Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche höchstens 495 ml enthält?

z = (495 − 500) / 5 = −1,0
Φ(−1) ≈ 0,1587

→ ≈ 15,87 % aller Flaschen liegen unter 495 ml.

Beispiel 4 — Rückrechnung

Welcher Messwert entspricht einem z von 1,5 bei μ = 70 und σ = 8?

x = z · σ + μ
  = 1,5 · 8 + 70
  = 82

Beispiel 5 — Ausreißer-Test

Eine Messung x = 28 bei μ = 10, σ = 3.

z = (28 − 10) / 3 = 6,0

→ |z| = 6 weit über 3  →  sehr starker Ausreißer
  (Wahrscheinlichkeit < 10⁻⁹ bei Normalverteilung).