Binomialverteilung (einzeln)
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) — Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen mit Einzelerfolgswahrscheinlichkeit p.
Binomialverteilung (einzeln) berechnen
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) — Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen mit Einzelerfolgswahrscheinlichkeit p.
Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit zwei Ausgängen („Erfolg" / „Misserfolg") genau k Erfolge zu erzielen.
Voraussetzungen:
- Die Versuche sind unabhängig.
- In jedem Versuch ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p konstant.
- Es gibt nur zwei Ausgänge pro Versuch (Bernoulli-Experiment).
Klassische Beispiele: Münzwürfe, Würfel-Wiederholungen, Stichproben mit Zurücklegen, Qualitätskontrolle, Klicks in der Online-Werbung.
Die Formel
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
mit C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung:
- E(X) = n · p
- Var(X) = n · p · (1 − p)
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| n | Versuche | — | Anzahl unabhängiger Versuche. |
| k | Erfolge | — | Gewünschte Anzahl Erfolge (0 ≤ k ≤ n). |
| p | Erfolgswahrsch. | — | Einzelerfolgswahrscheinlichkeit, 0 ≤ p ≤ 1. |
| P | P(X = k) | — | Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge. |
Minimal-Beispiel
10 Münzwürfe, genau 5-mal Kopf:
n = 10, k = 5, p = 0,5
C(10, 5) = 252
P = 252 · 0,5⁵ · 0,5⁵
= 252 · (1/32) · (1/32)
= 252 / 1024
≈ 0,2461 = 24,61 %Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Würfel: dreimal die Sechs bei sechs Würfen
n = 6, k = 3, p = 1/6 ≈ 0,1667
C(6, 3) = 20
P = 20 · (1/6)³ · (5/6)³
= 20 · 0,00463 · 0,5787
≈ 0,0536 ≈ 5,36 %Beispiel 2 — Qualitätsprüfung
Defektrate p = 0,03. In einer Charge von 20 Stück: Wahrscheinlichkeit für genau 1 defektes Stück?
n = 20, k = 1, p = 0,03
C(20, 1) = 20
P = 20 · 0,03¹ · 0,97¹⁹
≈ 20 · 0,03 · 0,5606
≈ 0,3364 ≈ 33,64 %Beispiel 3 — Multiple-Choice raten
Eine Klausur hat 10 MC-Fragen mit je 4 Antworten (eine richtig). Wahrscheinlichkeit, durch reines Raten genau 7 richtig zu haben?
n = 10, k = 7, p = 1/4 = 0,25
C(10, 7) = 120
P = 120 · 0,25⁷ · 0,75³
≈ 120 · 6,1 · 10⁻⁵ · 0,4219
≈ 0,0031 ≈ 0,31 %Beispiel 4 — Lotterie-Tickets
Die Gewinnchance pro Los beträgt 5 %. Eine Person kauft 8 Lose. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Gewinne?
n = 8, k = 2, p = 0,05
C(8, 2) = 28
P = 28 · 0,05² · 0,95⁶
≈ 28 · 0,0025 · 0,7351
≈ 0,0515 ≈ 5,15 %Beispiel 5 — Erwartungswert nutzen
Bei n = 100 Versuchen und p = 0,3 ist:
E(X) = n · p = 30
Var(X) = n · p · (1−p) = 21
σ = √21 ≈ 4,58
Typische Anzahl Erfolge: ca. 30 ± 5.