Gegenwahrscheinlichkeit

Was ist die Gegenwahrscheinlichkeit?

Zu jedem Ereignis E gibt es das Gegenereignis Ē — „E tritt nicht ein". Beide Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich zu 1:

P(E) + P(Ē) = 1 ⇒ P(Ē) = 1 − P(E)

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist oft die einfachere Rechnung, vor allem bei „mindestens einmal"-Aufgaben:

P(mindestens 1 Erfolg) = 1 − P(kein Erfolg)

Die Formel

P(Ē) = 1 − P(E)

oder umgekehrt:

P(E) = 1 − P(Ē)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Wahrscheinlichkeit, beim Würfel keine 6 zu werfen:

P(6) = 1/6

P(keine 6) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 83,33 %

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Mindestens eine Sechs in vier Würfen

Bei vier unabhängigen Würfen ist „keine Sechs in allen vier" der einfachere Weg.

P(keine 6 pro Wurf) = 5/6
P(viermal keine 6)  = (5/6)⁴ ≈ 0,4823

P(mindestens eine 6) = 1 − 0,4823 ≈ 0,5177 = 51,77 %

Beispiel 2 — Geburtstagsparadoxon

In einem Raum mit 23 Personen: Wie wahrscheinlich teilen sich (mindestens) zwei den Geburtstag?

P(alle 23 verschiedene Tage)
  = (365/365) · (364/365) · … · (343/365)
  ≈ 0,4927

P(mindestens 2 gleich) = 1 − 0,4927 ≈ 0,5073
                        ≈ 50,7 %  (das berühmte Paradox)

Beispiel 3 — Qualitätsprüfung

Eine Fertigung hat eine Ausschussrate von 2 %. Aus 100 Stück werden alle geprüft. Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein defektes Stück gefunden wird?

P(Stück OK) = 0,98
P(100 Stück alle OK) = 0,98¹⁰⁰ ≈ 0,1326

P(mindestens 1 Defekt) = 1 − 0,1326 ≈ 86,74 %

Beispiel 4 — Anruf-Hotline

Eine Hotline ist mit 30 % Wahrscheinlichkeit pro Anruf besetzt. Wahrscheinlichkeit, beim dritten Versuch erstmals durchzukommen, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu „immer noch besetzt nach 3 Versuchen":

P(3× besetzt) = 0,30³ = 0,027

P(spätestens beim 3. Versuch durch) = 1 − 0,027 = 97,3 %

Beispiel 5 — Klassischer Schein-Test

Beim Test eines Glücksrads ist P(Niete) = 0,85. P(Treffer) = 1 − 0,85 = 0,15.