Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist.
- PAcB — P(A | B)
- PAB — P(A ∩ B)
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) (gelesen: „P von A unter der Bedingung B") gibt an, wie wahrscheinlich A ist, wenn man weiß, dass B bereits eingetreten ist. Das Wissen über B verändert die Grundgesamtheit — und damit oft auch die Wahrscheinlichkeit für A.
Formal teilt man die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0)
Ist P(A | B) = P(A), so sind A und B unabhängig — das Wissen über B ändert nichts an A.
Die Formel
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Umstellung:
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| PAB | P(A ∩ B) | — | Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten. |
| PB | P(B) | — | Wahrscheinlichkeit von B; muss > 0 sein. |
| PAcB | P(A | B) | — |
Minimal-Beispiel
Würfel: Wie wahrscheinlich ist eine 6 unter der Bedingung, dass die Augenzahl gerade ist?
A = „6"; B = „gerade Zahl"
A ∩ B = „6" (jede 6 ist gerade)
P(A ∩ B) = 1/6, P(B) = 3/6 = 1/2
P(A | B) = (1/6) / (1/2) = 1/3 ≈ 33,33 %Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Urne mit Kugeln
In einer Urne liegen 10 Kugeln: 4 rote (3 schwer, 1 leicht) und 6 blaue (2 schwer, 4 leicht). Ziehe eine Kugel. A = „rot", B = „schwer".
P(B) = 5/10 = 0,5 (3 + 2 schwere)
P(A ∩ B) = 3/10 = 0,3 (rot und schwer)
P(rot | schwer) = 0,3 / 0,5 = 0,6 = 60 %Beispiel 2 — Diagnose-Test
In einer Studie hatten 20 % der Patienten eine bestimmte Krankheit (K), 12 % hatten Krankheit und positives Testergebnis (T).
P(K) = 0,20
P(K ∩ T) = 0,12
P(T | K) = 0,12 / 0,20 = 0,60 = 60 %
→ Sensitivität des Tests beträgt 60 %.Beispiel 3 — Zwei aufeinanderfolgende Karten
Aus einem 32er-Skatblatt werden 2 Karten ohne Zurücklegen gezogen. A = „2. Karte ist Ass", B = „1. Karte ist Ass".
P(B) = 4/32 = 1/8
P(A | B) = 3/31 (nach Ass-Entnahme bleiben 3 Asse in 31 Karten)
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = (3/31) · (4/32)
= 12 / 992 ≈ 1,21 %Beispiel 4 — Unabhängigkeit prüfen
Münze und Würfel zugleich. A = „Kopf", B = „6".
P(A) = 1/2
P(B) = 1/6
P(A ∩ B) = 1/12
P(A | B) = (1/12) / (1/6) = 1/2 = P(A)
→ A und B sind unabhängig.Beispiel 5 — Qualitätsdaten
Eine Fabrik produziert auf zwei Maschinen. Maschine A liefert 70 % der Stück, Maschine B 30 %. 2 % der A-Stücke und 5 % der B-Stücke sind defekt. Ein Stück ist defekt — wie wahrscheinlich stammt es von B?
P(Def ∩ B) = 0,30 · 0,05 = 0,015
P(Def) = 0,70 · 0,02 + 0,30 · 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029
P(B | Def) = 0,015 / 0,029 ≈ 0,517 = 51,7 %