Geometrisches Mittel

Wann braucht man das geometrische Mittel?

Das geometrische Mittel kommt überall dort zum Einsatz, wo Größen multiplikativ wirken — typisch bei Wachstumsraten, Verzinsung, Inflationsraten oder Indizes.

Das arithmetische Mittel über Wachstumsfaktoren liefert dort falsche Ergebnisse: zwei Jahre +100 % und −50 % ergeben in Summe nicht +25 %, sondern 0 %. Das geometrische Mittel rechnet richtig.

Voraussetzung: alle Werte müssen positiv sein.

Die Formel

G = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ)

  = (x₁ · x₂ · … · xₙ)^(1/n)

Für Wachstumsfaktoren gilt: durchschnittliche jährliche Rendite = G − 1.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Geometrisches Mittel von 2, 8:

Produkt = 2 · 8 = 16
G       = √16  = 4

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Durchschnittliche Rendite

Eine Aktie liefert in drei Jahren +20 %, +10 %, −5 %. Wachstumsfaktoren: 1,20; 1,10; 0,95.

Produkt = 1,20 · 1,10 · 0,95 = 1,2540
G       = 1,2540^(1/3)
        ≈ 1,0784

⇒ durchschnittliche Rendite ≈ 7,84 % pro Jahr

Beispiel 2 — Inflations-Schnitt

Inflationsraten in fünf Jahren: 2 %, 3 %, 8 %, 6 %, 4 %. Faktoren: 1,02; 1,03; 1,08; 1,06; 1,04.

Produkt = 1,02 · 1,03 · 1,08 · 1,06 · 1,04
        ≈ 1,2510
G       = 1,2510^(1/5)
        ≈ 1,0458

⇒ Durchschnittsinflation ≈ 4,58 % p. a.

Beispiel 3 — Bevölkerungswachstum

Eine Stadt wächst in drei Jahrzehnten um 30 %, 25 %, 15 %.

Produkt = 1,30 · 1,25 · 1,15 ≈ 1,8688
G       = 1,8688^(1/3)
        ≈ 1,2317

⇒ ≈ 23,17 % pro Jahrzehnt

Beispiel 4 — Geometrisches vs. arithmetisches Mittel

Werte 1 und 100:

Arithmetisch: (1 + 100) / 2 = 50,5
Geometrisch:  √(1 · 100)    = 10

Beim arithmetischen Mittel dominiert der größere Wert,
beim geometrischen wirken beide gleichgewichtig.