Harmonisches Mittel

Wann braucht man das harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel ist das richtige Mittel, wenn die zu mittelnden Werte in Form von Verhältnissen mit gleichem Zähler vorliegen. Klassische Fälle:

• Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn gleiche Strecken mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten gefahren werden.
• Stückkosten, wenn für gleichen Geldbetrag unterschiedliche Stückzahlen gekauft werden.
• F1-Score in der Klassifikation (harmonisches Mittel aus Precision und Recall).

Es gilt stets: harmonisches Mittel ≤ geometrisches Mittel ≤ arithmetisches Mittel.

Die Formel

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)

  = n / Σ(1/xᵢ)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Harmonisches Mittel von 2 und 4:

Σ(1/xᵢ) = 1/2 + 1/4 = 0,75
n       = 2
H       = 2 / 0,75 ≈ 2,67

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein Auto fährt 100 km mit 60 km/h und die nächsten 100 km mit 100 km/h. Welche Geschwindigkeit ergibt sich im Mittel?

Σ(1/v) = 1/60 + 1/100 = 8/300
H      = 2 / (8/300) = 600 / 8 = 75 km/h

(Arithmetisch wäre es 80 km/h — falsch, weil
gleiche Strecken, nicht gleiche Zeiten gemittelt werden.)

Beispiel 2 — Einkauf zum festen Budget

Eine Anlegerin investiert jeden Monat 300 € in einen Fonds, dessen Kurs schwankt: 30 €, 50 €, 60 €. Wie hoch ist der durchschnittliche Kaufpreis pro Anteil?

Anteile = 300/30 + 300/50 + 300/60 = 10 + 6 + 5 = 21
Gesamt  = 900 €
Schnitt = 900 / 21 ≈ 42,86 €

Mit Formel: H = 3 / (1/30 + 1/50 + 1/60) ≈ 42,86 €

Beispiel 3 — F1-Score (Machine Learning)

Bei Precision = 0,80 und Recall = 0,60:

F1 = 2 / (1/0,80 + 1/0,60)
   = 2 / (1,25 + 1,6667)
   = 2 / 2,9167
   ≈ 0,686

Beispiel 4 — Parallelschaltung von Widerständen

Zwei Widerstände R₁ = 6 Ω und R₂ = 12 Ω parallel ergeben einen Ersatzwiderstand R_ges = H/2 (das halbe harmonische Mittel).

H = 2 / (1/6 + 1/12) = 2 / 0,25 = 8 Ω
R_ges = H / 2 = 4 Ω