/ Statistik & Wahrscheinlichkeit

Kombination (ohne Wiederholung)

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) — Anzahl der ungeordneten Auswahlen von k aus n Elementen (Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen).

01 · Eingabe

Kombination (ohne Wiederholung) berechnen

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) — Anzahl der ungeordneten Auswahlen von k aus n Elementen (Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen).

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

n Gesamtanzahl

k Auswahl

Was ist eine Kombination?

Eine Kombination ohne Wiederholung zählt die Anzahl der ungeordneten Auswahlmöglichkeiten, k Elemente aus n verschiedenen auszuwählen — Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen.

Sie heißt auch Binomialkoeffizient „n über k" und ist die Grundgröße der gesamten Kombinatorik, Stochastik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Vergleich:

(A, B) und (B, A) sind eine Kombination, aber zwei Permutationen.
Es gilt stets: C(n, k) = P(n, k) / k!

Die Formel

Formel Kombination

               n!
C(n, k) = ─────────────
          k! · (n − k)!

Spezialfälle:
  C(n, 0) = C(n, n) = 1
  C(n, k) = C(n, n − k)   (Symmetrie)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Gesamtanzahl	—	Anzahl verfügbarer Elemente.
k	Auswahl	—	Anzahl ausgewählter Elemente (0 ≤ k ≤ n).
C(n,k)	Kombinationen	—	Anzahl ungeordneter Auswahlen.

Minimal-Beispiel

3 aus 5 wählen:

Rechnung Beispiel

n = 5, k = 3

C(5, 3) = 5! / (3! · 2!)
        = 120 / (6 · 2)
        = 10

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lotto 6 aus 49

Rechnung Lotto-Kombinationen

n = 49, k = 6

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!)
         = 13.983.816

→ fast 14 Millionen mögliche Tippreihen.
Chance auf 6 Richtige: 1 / 13.983.816.

Beispiel 2 — Pizza-Beläge

Eine Pizzeria bietet 8 Beläge an. Wie viele Pizzas mit genau 3 verschiedenen Belägen sind möglich?

Rechnung Pizza

n = 8, k = 3

C(8, 3) = 8! / (3! · 5!)
        = 56

Beispiel 3 — Komitee bilden

Aus 12 Bewerbern soll ein 4er-Komitee gebildet werden (Reihenfolge egal, keine Doppelbesetzung):

Rechnung Komitee

n = 12, k = 4

C(12, 4) = 12! / (4! · 8!)
         = 495

Beispiel 4 — Kartenhand beim Skat

Beim Skat erhält jeder Spieler 10 von 32 Karten. Wie viele mögliche Skat-Hände gibt es?

Rechnung Skat-Hand

n = 32, k = 10

C(32, 10) ≈ 64,5 Mio.

⇒ rund 64,5 Millionen mögliche Skat-Blätter pro Spieler.

Beispiel 5 — Stichprobe in der Qualitätskontrolle

Aus 100 Stück werden 5 zufällig (ohne Zurücklegen) zur Prüfung gezogen:

Rechnung QC-Stichprobe

n = 100, k = 5

C(100, 5) = 75.287.520

⇒ rund 75 Millionen mögliche Stichproben.
Grundlage für die hypergeometrische Verteilung.