Median

Was ist der Median?

Der Median teilt eine sortierte Datenreihe in zwei gleich große Hälften — 50 % der Werte liegen unter, 50 % über ihm. Er ist das robusteste Lagemaß: Selbst extreme Ausreißer ändern ihn kaum.

Deshalb bevorzugen Behörden und Medien beim Veröffentlichen von Einkommen, Mieten, Hauspreisen oder Wartezeiten meist den Median statt des arithmetischen Mittels.

Die Formel

Sortiere x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ aufsteigend.

n ungerade:  M = x_((n+1)/2)
n gerade:    M = (x_(n/2) + x_(n/2 + 1)) / 2

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Median von 3, 1, 7, 4, 9:

Sortiert: 1, 3, 4, 7, 9
n = 5, mittlere Position = 3
M = 4

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Gerade Anzahl

Median von 2, 5, 7, 9, 12, 14:

Sortiert: 2, 5, 7, 9, 12, 14
n = 6, Positionen 3 und 4: 7 und 9
M = (7 + 9) / 2 = 8

Beispiel 2 — Einkommen einer Region

Sieben Monats-Nettoeinkommen in €: 1.800; 2.200; 2.400; 2.600; 2.700; 3.200; 15.000.

Sortiert (bereits): wie oben
n = 7, mittlere Position = 4
Median = 2.600 €
Mittelwert = 4.271 €  (vom Top-Verdiener verzerrt)

→ Median spiegelt das „typische" Einkommen.

Beispiel 3 — Wartezeiten in der Praxis

Zehn Patienten warten (in Minuten): 5, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 25, 30, 90.

n = 10, Positionen 5 und 6: 15 und 18
Median = (15 + 18) / 2 = 16,5 min
Mittelwert ≈ 23,5 min

Beispiel 4 — Klausurnoten

Neun Noten: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5.

n = 9, mittlere Position = 5
Median = 3

Beispiel 5 — Robustheit gegen Ausreißer

Werte: 4, 5, 6, 7, 8. Median = 6, Mittelwert = 6. Wird die 8 durch 800 ersetzt: Median = 6 (unverändert), Mittelwert = 164,4.

Vorher  → M = 6,   x̄ =   6
Nachher → M = 6,   x̄ = 164,4