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Erwartungswert

E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ) — mit Wahrscheinlichkeiten gewichtetes Mittel der möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen.

Erwartungswert

01 · Eingabe

Erwartungswert berechnen

E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ) — mit Wahrscheinlichkeiten gewichtetes Mittel der möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen.

E(X) = x₁ · P(x₁) + x₂ · P(x₂) + … + xₙ · P(xₙ)

X Werte xᵢ

Pp Wahrsch. P(xᵢ)

Was ist der Erwartungswert?

Der Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariablen X ist das mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel ihrer möglichen Ausgänge. Anschaulich: würde man das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen, läge der Mittelwert der Ergebnisse beim Erwartungswert (Gesetz der großen Zahlen).

E(X) ist kein „typisches" Ergebnis im Sinne eines tatsächlichen Ausgangs — er kann sogar ein Wert sein, den X nie annimmt (z. B. 3,5 beim Würfel).

Bei einem fairen Spiel ist E(Gewinn) = 0. Bei realen Glücksspielen ist er stets negativ — das ist der „Hausvorteil".

Die Formel

Formel Erwartungswert

E(X) = Σᵢ xᵢ · P(xᵢ)

     = x₁ · P(x₁) + x₂ · P(x₂) + … + xₙ · P(xₙ)

Bedingung: ΣP(xᵢ) = 1.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
xᵢ	Mögliche Werte	beliebig	Ausgänge der Zufallsvariablen X.
P(xᵢ)	Wahrscheinl.	—	Eintrittswahrscheinlichkeit; Σ = 1.
E(X)	Erwartungswert	wie xᵢ	Gewichtetes Mittel der Werte.

Minimal-Beispiel

Fairer Würfel:

Rechnung Würfel

Werte:           1   2   3   4   5   6
P(xᵢ) (alle):    1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

E(X) = (1+2+3+4+5+6) / 6
     = 21 / 6
     = 3,5

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Roulette (einfache Chance „Rot")

Beim Roulette mit 37 Feldern (0..36) gibt es 18 rote Felder. Einsatz 10 €, Gewinn bei Rot: +10 €, sonst −10 €.

Rechnung Roulette Rot

P(Rot)      = 18/37
P(nicht Rot)= 19/37

E(Gewinn) = +10 · 18/37 + (−10) · 19/37
          = 180/37 − 190/37
          = −10/37 ≈ −0,27 €

⇒ Im Schnitt verliert der Spieler ≈ 27 Cent pro 10 €-Einsatz.

Beispiel 2 — Lotterie-Los

Ein Los kostet 5 €. Mit Wahrscheinlichkeit 0,001 gewinnt es 1.000 €, mit 0,01 gewinnt es 50 €, sonst nichts.

Rechnung Lotterie

E(Auszahlung) = 1000 · 0,001 + 50 · 0,01 + 0 · 0,989
              = 1 + 0,50
              = 1,50 €

E(Reingewinn) = 1,50 − 5,00 = −3,50 €

⇒ pro Los verliert der Spieler im Mittel 3,50 €.

Beispiel 3 — Versicherung kalkuliert die Prämie

Eine Versicherung zahlt bei einem Schaden 5.000 € aus, Schadenwahrscheinlichkeit p = 0,02. Welche Mindestprämie pro Jahr braucht sie?

Rechnung Prämie

E(Auszahlung) = 5.000 · 0,02 + 0 · 0,98
              = 100 €

Faire Prämie: 100 € pro Jahr (zzgl. Kosten, Risikozuschlag).

Beispiel 4 — Klausur mit Minuspunkten

Pro richtige Antwort gibt es +2 Punkte, pro falsche −1, Auslassen 0. Trefferwahrscheinlichkeit per Raten 0,25.

Rechnung Raten lohnt sich?

Raten: E = +2 · 0,25 + (−1) · 0,75
         = 0,50 − 0,75
         = −0,25 Punkte

⇒ Raten hat negativen Erwartungswert. Auslassen ist
  bei reinem Raten besser.

Beispiel 5 — Erwartungswert der Binomialverteilung

X ~ Bin(n; p). Hier: n = 100 Münzwürfe.

Rechnung Binomial

E(X) = n · p = 100 · 0,5 = 50

⇒ Im Mittel 50 Köpfe in 100 Würfen.