Arithmetisches Mittel

Was ist das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel — umgangssprachlich der „Durchschnitt" — ist das bekannteste Lagemaß in der Statistik. Man summiert alle Beobachtungswerte und teilt durch die Anzahl.

Anschaulich: Würde man die Datenmenge gleichmäßig auf alle Beobachtungen verteilen, bekäme jede den Mittelwert.

Wichtig: Das arithmetische Mittel reagiert stark auf Ausreißer. Liegen extreme Werte in der Reihe, ist der Median das robustere Maß.

Die Formel

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

   = Σxᵢ / n

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Mittelwert von 4, 7, 9, 12:

Summe = 4 + 7 + 9 + 12 = 32
n     = 4
x̄     = 32 / 4 = 8

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Klausur-Notendurchschnitt

Eine Schülerin schreibt fünf Klausuren mit den Noten 2, 1, 3, 2, 2.

Summe = 2 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10
n     = 5
x̄     = 10 / 5 = 2,0

Beispiel 2 — Tagesumsätze einer Woche

Ein Bäcker notiert die Umsätze in Euro: 420, 380, 510, 460, 490, 700, 350.

Summe = 420 + 380 + 510 + 460 + 490 + 700 + 350
      = 3.310 €
n     = 7
x̄     = 3.310 / 7
      ≈ 472,86 €

Beispiel 3 — Ausreißer-Effekt

Sechs Gehälter (in 1.000 €): 35, 38, 40, 42, 45, 250 (Manager).

Summe = 450
n     = 6
x̄     = 75 (1.000 €)

→ der Mittelwert spiegelt KEINEN typischen Mitarbeiter wider.
Median = 41 (1.000 €) wäre hier aussagekräftiger.

Beispiel 4 — Qualitätsmessung

Zehn Stichproben einer Fertigung ergeben Längen in mm: 50,1; 49,9; 50,2; 50,0; 49,8; 50,1; 50,3; 49,9; 50,0; 50,1.

Summe = 500,4 mm
n     = 10
x̄     = 50,04 mm

Beispiel 5 — Gewichteter Mittelwert

Hat eine Klausur höheres Gewicht (z. B. doppelt), zählt sie zweimal in Summe und Anzahl: bei 3 Klausuren (Noten 1; 2; 3) mit Gewichtung 1, 1, 2:

Σ(gᵢ · xᵢ) = 1·1 + 1·2 + 2·3 = 9
Σgᵢ        = 1 + 1 + 2     = 4
x̄          = 9 / 4 = 2,25