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Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren

Fläche des von zwei ebenen Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms: A = |a₁·b₂ − a₂·b₁|. Entspricht dem Betrag der z-Komponente des Kreuzprodukts.

Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren
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Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren berechnen

Fläche des von zwei ebenen Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms: A = |a₁·b₂ − a₂·b₁|. Entspricht dem Betrag der z-Komponente des Kreuzprodukts.

A = |a₁ · b₂ − a₂ · b₁|

Was ist die Parallelogrammfläche aus zwei Vektoren?

Zwei ebene Vektoren a und b, die im selben Ursprung beginnen, spannen ein Parallelogramm auf. Dessen Fläche entspricht dem Betrag der 2×2-Determinante der Vektor-Komponenten.

Geometrisch gilt zugleich:

A = |a| · |b| · sin(φ)

— Grundseite mal Höhe, wobei die Höhe |b| · sin(φ) ist.

Mit der Formel lässt sich auch die Dreiecksfläche berechnen: einfach das Ergebnis durch 2 teilen.

Die Formel

Formel Parallelogrammfläche 
A = |a₁ · b₂ − a₂ · b₁|

Mit a = (a₁; a₂),  b = (b₁; b₂)

Dreiecksfläche aus den gleichen Vektoren:
    A_dreieck = A / 2

Der Ausdruck a₁·b₂ − a₂·b₁ heißt auch Kreuzproduktkomponente der beiden Vektoren in der Ebene — ihr Vorzeichen gibt die Orientierung (a, b) an.

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
a₁, a₂Vektor a—Erster aufspannender Vektor.
b₁, b₂Vektor b—Zweiter aufspannender Vektor.
AFlächeFlächeFläche des aufgespannten Parallelogramms.

Minimal-Beispiel

a = (3; 0), b = (0; 4):

Rechnung Beispiel 
A = |3 · 4 − 0 · 0|
  = |12|
  = 12

Das passt zum Rechteck 3 × 4 = 12.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Schiefes Parallelogramm

a = (5; 2), b = (1; 4):

Rechnung Schief 
A = |5 · 4 − 2 · 1|
  = |20 − 2|
  = 18

Beispiel 2 — Dreiecksfläche aus zwei Kanten

Ein Dreieck hat die Eckpunkte A(0; 0), B(6; 0), C(2; 5). Die Kanten von A sind a = AB = (6; 0) und b = AC = (2; 5):

Rechnung Dreieck 
A_parallelogramm = |6 · 5 − 0 · 2| = 30
A_dreieck = 30 / 2 = 15

Beispiel 3 — Parallele Vektoren

a = (2; 1), b = (4; 2) — b ist das Doppelte von a:

Rechnung Parallel 
A = |2 · 2 − 1 · 4|
  = |4 − 4|
  = 0

Die Vektoren sind kollinear — kein Parallelogramm.

Beispiel 4 — Grundstück aus zwei Vermessungskanten

Vom Eckpunkt eines Grundstücks führen zwei Seitenvektoren a = (24; 7) m und b = (3; 18) m weg. Welche Fläche umschließt das Parallelogramm-Stück?

Rechnung Grundstück 
A = |24 · 18 − 7 · 3|
  = |432 − 21|
  = 411 m²