Vektorprojektion

Was ist eine Vektorprojektion?

Die skalare Projektion von a auf b — geschrieben proj_b(a) — gibt an, wie viel von a in Richtung von b „wirkt". Sie entspricht der Länge des Schattens, den a auf eine Achse parallel zu b werfen würde, wenn das Licht senkrecht auf diese Achse fällt.

Der Wert ist vorzeichenbehaftet:

• positiv — a und b zeigen in dieselbe Halbrichtung,
• 0 — a steht senkrecht auf b,
• negativ — a zeigt in die entgegengesetzte Halbrichtung von b.

Die Formel

proj_b(a) = (a · b) / |b|
          = (a₁·b₁ + a₂·b₂) / √(b₁² + b₂²)

Voraussetzung: |b| ≠ 0

Aus der skalaren Projektion lässt sich die vektorielle Projektion ableiten: proj_b(a) · (b / |b|).

Die Variablen

Minimal-Beispiel

a = (4; 3), b = (1; 0) — die x-Achse als Richtung:

a · b = 4
|b| = 1
proj = 4 / 1 = 4

Wie erwartet: Von a = (4; 3) zeigt der Anteil 4 in x-Richtung.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kraftanteil in Bewegungsrichtung

Eine Kraft F = (40; 30) N wirkt auf einen Schlitten, der in Richtung b = (1; 0) gezogen wird. Welcher Teil von F wirkt in Bewegungsrichtung?

F · b = 40
|b| = 1
proj = 40 / 1 = 40 N

Beispiel 2 — Schatten auf einer schrägen Achse

a = (3; 4), b = (1; 1):

a · b = 3 + 4 = 7
|b| = √2
proj = 7 / √2 ≈ 4,95

Beispiel 3 — Negativer Wert

a = (−2; 3), b = (1; 0):

a · b = −2
|b| = 1
proj = −2

a zeigt in entgegengesetzter x-Richtung.

Beispiel 4 — Wind-Komponente in Fahrtrichtung

Wind = (5; 2) m/s, Fahrtrichtung b = (3; 4):

a · b = 15 + 8 = 23
|b| = √(9 + 16) = 5
proj = 23 / 5 = 4,6 m/s

Rückenwindkomponente: 4,6 m/s.