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/ Analytische Geometrie

Skalarprodukt (2D)

Skalarprodukt zweier ebener Vektoren a = (a₁; a₂) und b = (b₁; b₂): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.

Skalarprodukt (2D)
01 · Eingabe

Skalarprodukt (2D) berechnen

Skalarprodukt zweier ebener Vektoren a = (a₁; a₂) und b = (b₁; b₂): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.

d = a₁ · b₁ + a₂ · b₂

Was ist das Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl. Es verbindet zwei Vektoren auf eine Weise, die Aussagen über deren Winkel und gegenseitige Projektion erlaubt:

  • a · b > 0 — die Vektoren bilden einen spitzen Winkel.
  • a · b = 0 — die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (Orthogonalität).
  • a · b < 0 — sie bilden einen stumpfen Winkel.

Geometrisch gilt zusätzlich a · b = |a| · |b| · cos(φ).

Die Formel

Formel Skalarprodukt 2D 
a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂

Mit a = (a₁; a₂),  b = (b₁; b₂)

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
a₁, a₂Vektor a—Komponenten des ersten Vektors.
b₁, b₂Vektor b—Komponenten des zweiten Vektors.
dSkalarprodukt—Reeller Zahlenwert von a · b.

Minimal-Beispiel

a = (3; 4), b = (2; 1):

Rechnung Beispiel 
a · b = 3 · 2 + 4 · 1
      = 6 + 4
      = 10

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Orthogonalitätstest

Stehen a = (3; 2) und b = (−2; 3) senkrecht aufeinander?

Rechnung Orthogonal 
a · b = 3 · (−2) + 2 · 3
      = −6 + 6
      = 0    →    a ⊥ b

Beispiel 2 — Arbeit einer Kraft

Eine Kraft F = (40; 30) N zieht einen Schlitten entlang des Weges s = (5; 0) m. Welche Arbeit wird verrichtet?

Rechnung Arbeit 
W = F · s
  = 40 · 5 + 30 · 0
  = 200 J

Beispiel 3 — Stumpfer Winkel

a = (1; 2), b = (−3; 1):

Rechnung Stumpfer Winkel 
a · b = 1 · (−3) + 2 · 1
      = −3 + 2
      = −1   →   stumpfer Winkel zwischen a und b.

Beispiel 4 — Projektion auf eine Achse

Wie viel von a = (4; 3) zeigt in Richtung der x-Achse, also in Richtung b = (1; 0)?

Rechnung x-Komponente 
a · b = 4 · 1 + 3 · 0
      = 4

Mit |b| = 1 ist 4 zugleich die skalare Projektion von a auf x.