/ Analytische Geometrie

Kreisgleichung

Kreis mit Mittelpunkt (h; k) und Radius r: (x − h)² + (y − k)² = r². Berechnet den oberen y-Wert auf dem Kreis zu gegebenem x.

Kreisgleichung

01 · Eingabe

Kreisgleichung berechnen

Kreis mit Mittelpunkt (h; k) und Radius r: (x − h)² + (y − k)² = r². Berechnet den oberen y-Wert auf dem Kreis zu gegebenem x.

y = k + √(r² − (x − h)²)

h Mittelpunkt h

k Mittelpunkt k

r Radius r

x Punkt x

Was ist die Kreisgleichung?

Ein Kreis mit Mittelpunkt M(h; k) und Radius r ist die Menge aller Punkte, die genau den Abstand r zu M haben. Setzt man die Abstandsformel quadriert an, erhält man die Standardform der Kreisgleichung.

Für einen Punkt (x; y) lässt sich die zugehörige y-Koordinate auf dem Kreis explizit angeben — getrennt nach oberer und unterer Halbkreis-Hälfte.

Die Formel

Formel Kreis

(x − h)² + (y − k)² = r²

Obere Halbkreislinie:   y = k + √(r² − (x − h)²)
Untere Halbkreislinie:  y = k − √(r² − (x − h)²)

Voraussetzung: |x − h| ≤ r  (sonst Punkt außerhalb)

Der Rechner liefert standardmäßig den oberen y-Wert.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
h, k	Mittelpunkt M	Länge	x- und y-Koordinate des Kreismittelpunkts.
r	Radius	Länge	Abstand jedes Kreispunkts zu M.
x	Punkt x	Länge	x-Stelle, an der die Kreislinie ausgewertet wird.
y	Punkt y	Länge	Zugehöriger y-Wert auf der oberen Hälfte.

Minimal-Beispiel

Kreis um (0; 0) mit r = 5. Welcher obere y-Wert liegt bei x = 3?

Rechnung Beispiel

y = 0 + √(5² − 3²)
  = √(25 − 9)
  = √16
  = 4

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Karussell-Bahn

Ein Sitz dreht sich auf einem Karussell-Kreis um M(3; 2) m mit Radius 4 m. Welche y-Position hat er bei x = 5 m (obere Hälfte)?

Rechnung Karussell

y = 2 + √(4² − (5 − 3)²)
  = 2 + √(16 − 4)
  = 2 + √12
  ≈ 5,46 m

Beispiel 2 — Punkt liegt am Rand

Kreis um (1; 1) mit r = 3. y-Wert bei x = 4 (rechter Scheitelpunkt):

Rechnung Rand

y = 1 + √(3² − (4 − 1)²)
  = 1 + √(9 − 9)
  = 1

Bei x = h + r liegt nur der eine Punkt (h + r; k) auf dem Kreis.

Beispiel 3 — Punkt außerhalb des Kreises

Kreis um (0; 0) mit r = 2. Versuch bei x = 3:

Rechnung Außerhalb

r² − (x − h)² = 4 − 9 = −5  →  keine reelle Lösung,
Punkt liegt außerhalb des Kreises.

Beispiel 4 — Sichtkreis in einer Spielszene

Eine Lichtquelle bei (10; 6) leuchtet einen Bereich mit Radius 5 aus. Welche maximale y-Höhe wird bei x = 12 erreicht?

Rechnung Lichtkreis

y = 6 + √(5² − (12 − 10)²)
  = 6 + √(25 − 4)
  = 6 + √21
  ≈ 10,58