Abstand Punkt–Gerade

Was ist der Abstand Punkt–Gerade?

Der Abstand eines Punktes P₀ von einer Geraden g ist die Länge des Lotes von P₀ auf g — also die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade. Sie steht senkrecht auf der Geraden.

Bringt man die Gerade in die allgemeine Form a·x + b·y + c = 0, lässt sich der Abstand mit einer einzigen Formel berechnen — der Hesse-Normalform.

Die Formel

d = |a · x₀ + b · y₀ + c| / √(a² + b²)

Voraussetzung: a, b nicht beide 0.

Der Zähler ist die vorzeichenbehaftete „Abweichung" des Punktes von der Geradengleichung, der Nenner normiert auf eine Einheitslänge des Normalenvektors (a; b).

Umrechnung der Geradenform

Eine Gerade y = m·x + b lässt sich so in die allgemeine Form bringen:

y = m · x + b
⇔ −m · x + 1 · y − b = 0

Allgemein:  a = −m,  b_g = 1,  c = −b

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Gerade 3x + 4y − 12 = 0 und Punkt P₀(2; 1):

d = |3 · 2 + 4 · 1 − 12| / √(3² + 4²)
  = |6 + 4 − 12| / √25
  = |−2| / 5
  = 0,4

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wie nah verläuft eine Straße am Haus?

Eine Straße wird durch x − 2y + 4 = 0 beschrieben, ein Haus steht bei P(5; 3). Welcher Mindestabstand bleibt?

d = |1 · 5 + (−2) · 3 + 4| / √(1² + (−2)²)
  = |5 − 6 + 4| / √5
  = 3 / √5
  ≈ 1,34 m

Beispiel 2 — Punkt liegt genau auf der Geraden

Liegt P(4; 2) auf der Geraden 2x + y − 10 = 0?

d = |2 · 4 + 1 · 2 − 10| / √(4 + 1)
  = |0| / √5
  = 0    →    P liegt exakt auf g.

Beispiel 3 — Aus Hauptform umrechnen

Wie weit ist (2; 5) von der Geraden y = 2x + 1 entfernt?

y = 2x + 1   ⇒   −2x + y − 1 = 0   (a = −2, b = 1, c = −1)

d = |−2 · 2 + 1 · 5 − 1| / √(4 + 1)
  = |0| / √5
  = 0

Der Punkt liegt — wenig überraschend — auf der Geraden.

Beispiel 4 — Pufferzone an einer Pipeline

Eine Pipeline folgt 5x − 12y + 30 = 0 (Koordinaten in Metern). Ein geplanter Bohrpunkt liegt bei (10; 4). Erfüllt er die Sicherheitsmarge von 5 m?

d = |5 · 10 + (−12) · 4 + 30| / √(25 + 144)
  = |50 − 48 + 30| / √169
  = 32 / 13
  ≈ 2,46 m  →  zu nah, Marge nicht erfüllt.