Schnittpunkt Gerade–Kreis
Untersucht die Schnittlage der Geraden y = m·x + b mit dem Kreis x² + y² = r². Diskriminante D = r² · (1 + m²) − b² entscheidet: D > 0 zwei Schnittpunkte, D = 0 Tangente, D < 0 kein Schnittpunkt.
Schnittpunkt Gerade–Kreis berechnen
Untersucht die Schnittlage der Geraden y = m·x + b mit dem Kreis x² + y² = r². Diskriminante D = r² · (1 + m²) − b² entscheidet: D > 0 zwei Schnittpunkte, D = 0 Tangente, D < 0 kein Schnittpunkt.
Wann schneidet eine Gerade einen Kreis?
Setzt man die Geradengleichung y = m·x + b in die Kreisgleichung x² + y² = r² ein, entsteht eine quadratische Gleichung in x. Deren Diskriminante entscheidet über die Anzahl der Schnittpunkte:
- D > 0 — zwei Schnittpunkte (Sekante).
- D = 0 — genau ein Schnittpunkt (Tangente).
- D < 0 — kein Schnittpunkt (Passante).
Der Rechner liefert direkt diesen D-Wert und damit die Lagebeziehung.
Die Formel
Kreis: x² + y² = r² (Mittelpunkt im Ursprung)
Gerade: y = m · x + b
Diskriminante: D = r² · (1 + m²) − b²
D > 0 → Sekante (2 Schnittpunkte)
D = 0 → Tangente (1 Schnittpunkt)
D < 0 → Passante (kein Schnittpunkt)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| m | Steigung der Geraden | — | Anstieg von y = m·x + b. |
| b | y-Achsenabschnitt | — | y-Wert beim Schnitt mit der y-Achse. |
| r | Kreisradius | Länge | Radius des Kreises um den Ursprung. |
| D | Diskriminante | — | Entscheidet die Lagebeziehung. |
Minimal-Beispiel
Gerade y = x + 1, Kreis x² + y² = 4:
D = 4 · (1 + 1²) − 1²
= 4 · 2 − 1
= 7 → D > 0, also Sekante.Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Tangente von außen
Gerade y = x + 2·√2, Kreis x² + y² = 4:
b = 2·√2, b² = 8
D = 4 · (1 + 1) − 8
= 8 − 8
= 0 → Tangente.Beispiel 2 — Gerade verfehlt den Kreis
Gerade y = 0,5·x + 5, Kreis x² + y² = 4 (r = 2):
D = 4 · (1 + 0,25) − 25
= 5 − 25
= −20 → keine Schnittpunkte.Beispiel 3 — Sichtlinie durch eine Insel
In einer 2D-Karte sei eine Insel als Kreis um den Ursprung mit r = 6 km modelliert. Eine Schifffahrtsroute folgt y = 0,2·x + 4. Schneidet die Route die Insel?
D = 6² · (1 + 0,2²) − 4²
= 36 · 1,04 − 16
= 37,44 − 16
= 21,44 → D > 0, Route durchquert die Insel.Beispiel 4 — Lichtstrahl trifft Linse
Ein Lichtstrahl wird durch y = −2·x + 3 beschrieben, die Linse als Kreis mit r = 2 um den Ursprung. Trifft der Strahl die Linse?
D = 2² · (1 + (−2)²) − 3²
= 4 · 5 − 9
= 20 − 9
= 11 → D > 0, Strahl durchläuft die Linse.