Schnittpunkt zweier Geraden

Wann schneiden sich zwei Geraden?

Zwei Geraden in der Hauptform y = m·x + b verhalten sich nach diesem Schema:

• Genau ein Schnittpunkt, wenn m₁ ≠ m₂ — die Geraden haben verschiedene Steigungen.
• Kein Schnittpunkt, wenn m₁ = m₂ und b₁ ≠ b₂ — sie sind parallel.
• Unendlich viele Schnittpunkte, wenn m₁ = m₂ und b₁ = b₂ — die Geraden sind identisch.

Den Schnittpunkt findet man, indem man die y-Werte gleichsetzt: m₁·x + b₁ = m₂·x + b₂, dann nach x auflöst und y einsetzt.

Die Formel

x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂)
y = m₁ · x + b₁

Bedingung: m₁ ≠ m₂

Die Variablen

Minimal-Beispiel

g₁: y = 2x + 1 und g₂: y = −x + 7:

x = (7 − 1) / (2 − (−1))
  = 6 / 3
  = 2
y = 2 · 2 + 1
  = 5

S = (2; 5)

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Angebot trifft Nachfrage

Eine Angebotsfunktion p_A(x) = 0,5·x + 2 und eine Nachfragefunktion p_N(x) = −0,3·x + 10. Wo liegt das Marktgleichgewicht?

x = (10 − 2) / (0,5 − (−0,3))
  = 8 / 0,8
  = 10
p = 0,5 · 10 + 2
  = 7

S = (10; 7)  →  10 Stück zum Preis von 7 €

Beispiel 2 — Treffpunkt zweier Bewegungen

Auto A startet bei s = 0 mit 60 km/h, Auto B bei s = 120 km mit 40 km/h in dieselbe Richtung. Wann holt A B ein?

s_A(t) = 60 · t + 0
s_B(t) = 40 · t + 120

t = (120 − 0) / (60 − 40) = 6 h
s = 60 · 6 = 360 km

Treffpunkt nach 6 h bei 360 km.

Beispiel 3 — Parallele Geraden

g₁: y = 3x + 1 und g₂: y = 3x − 4:

m₁ − m₂ = 3 − 3 = 0   →   keine eindeutige Lösung
(parallel, da b₁ ≠ b₂)

Beispiel 4 — Negative Koordinaten

g₁: y = −2x − 3 und g₂: y = 0,5x + 2:

x = (2 − (−3)) / (−2 − 0,5)
  = 5 / (−2,5)
  = −2
y = −2 · (−2) − 3
  = 1

S = (−2; 1)