Kreuzprodukt (Betrag)

Was ist das Kreuzprodukt?

Das Kreuzprodukt zweier räumlicher Vektoren a und b ist selbst wieder ein Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Sein Betrag entspricht der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms:

|a × b| = |a| · |b| · sin(φ)

Der Rechner liefert genau diesen Betrag — nützlich, wenn man die Flächengröße oder den Sinus des Schließwinkels braucht.

Die Formel

c_x = a₂ · b₃ − a₃ · b₂
c_y = a₃ · b₁ − a₁ · b₃
c_z = a₁ · b₂ − a₂ · b₁

|a × b| = √(c_x² + c_y² + c_z²)

Eselsbrücke: Die Komponenten von a × b folgen dem zyklischen Schema (2,3) → (3,1) → (1,2).

Die Variablen

Minimal-Beispiel

a = (1; 0; 0), b = (0; 1; 0) — die beiden Einheitsvektoren in x- und y-Richtung:

c_x = 0 · 0 − 0 · 1 = 0
c_y = 0 · 0 − 1 · 0 = 0
c_z = 1 · 1 − 0 · 0 = 1

|a × b| = √(0 + 0 + 1) = 1

Das Ergebnis ist der Einheitsvektor in z-Richtung — passend zum Einheitsquadrat in der xy-Ebene.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Dreiecksfläche aus zwei Kantenvektoren

Ein Dreieck mit den Kanten a = (3; 0; 0) und b = (1; 4; 0) hat welche Fläche?

c_z = 3 · 4 − 0 · 1 = 12
|a × b| = √(0 + 0 + 144) = 12   (Parallelogramm)

Dreiecksfläche = 12 / 2 = 6

Beispiel 2 — Drehmoment-Betrag

Eine Kraft F = (0; 30; 0) N greift am Hebelarm r = (0,5; 0; 0) m an. Welcher Betrag hat das Drehmoment M = r × F?

c_x = 0 · 0 − 0 · 30 = 0
c_y = 0 · 0 − 0,5 · 0 = 0
c_z = 0,5 · 30 − 0 · 0 = 15

|M| = √(0 + 0 + 225) = 15 N·m

Beispiel 3 — Parallelogramm im Raum

a = (2; 1; −2), b = (3; 0; 1):

c_x = 1 · 1 − (−2) · 0 = 1
c_y = (−2) · 3 − 2 · 1 = −8
c_z = 2 · 0 − 1 · 3 = −3

|a × b| = √(1 + 64 + 9)
        = √74
        ≈ 8,60

Beispiel 4 — Parallele Vektoren ergeben 0

a = (1; 2; 3), b = (2; 4; 6) — b ist das Doppelte von a:

c_x = 2 · 6 − 3 · 4 = 0
c_y = 3 · 2 − 1 · 6 = 0
c_z = 1 · 4 − 2 · 2 = 0

|a × b| = 0   →   a und b sind parallel.