/ Analytische Geometrie

Vektorbetrag (2D)

Länge eines ebenen Vektors a = (a₁; a₂): |a| = √(a₁² + a₂²).

Vektorbetrag (2D)

01 · Eingabe

Vektorbetrag (2D) berechnen

Länge eines ebenen Vektors a = (a₁; a₂): |a| = √(a₁² + a₂²).

|a| = √(a₁² + a₂²)

a1 a₁

a2 a₂

Was ist der Vektorbetrag?

Der Betrag eines Vektors — auch Länge oder Norm — ist seine Maßzahl, unabhängig von der Richtung. In der Ebene entspricht er der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks aus den Komponenten a₁ und a₂.

Der Betrag ist immer nicht-negativ. Nur der Nullvektor (0; 0) hat den Betrag 0.

Die Formel

Formel Vektorbetrag 2D

|a| = √(a₁² + a₂²)

Mit a = (a₁; a₂)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	x-Komponente	—	Erste Komponente des Vektors.
a₂	y-Komponente	—	Zweite Komponente des Vektors.
m	Betrag	Länge	Länge des Vektors a.

Minimal-Beispiel

a = (3; 4):

Rechnung Beispiel

|a| = √(3² + 4²)
    = √(9 + 16)
    = √25
    = 5

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Geschwindigkeit aus Komponenten

Ein Boot fährt mit der Geschwindigkeit v = (5; 12) m/s relativ zum Wasser. Wie schnell ist es absolut?

Rechnung Geschwindigkeit

|v| = √(5² + 12²)
    = √(25 + 144)
    = √169
    = 13 m/s

Beispiel 2 — Diagonale eines Rechtecks

Ein Rechteck mit Breite 8 cm und Höhe 6 cm hat als Diagonale den Vektor (8; 6):

Rechnung Diagonale

|d| = √(8² + 6²)
    = √100
    = 10 cm

Beispiel 3 — Pixeldistanz vom Ursprung

In einem Bild liegt ein Punkt bei (−7; 24). Wie weit ist er vom Ursprung entfernt?

Rechnung Pixeldistanz

|a| = √((−7)² + 24²)
    = √(49 + 576)
    = √625
    = 25 px

Beispiel 4 — Einheitsvektor finden

a = (3; −4). Wie lang ist a, und wie sieht der zugehörige Einheitsvektor aus?

Rechnung Einheitsvektor

|a| = √(9 + 16) = 5

a_einheit = a / |a|
          = (3 / 5;  −4 / 5)
          = (0,6; −0,8)