/ Analytische Geometrie

Vektorbetrag (3D)

Länge eines räumlichen Vektors a = (a₁; a₂; a₃): |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).

Vektorbetrag (3D)

01 · Eingabe

Vektorbetrag (3D) berechnen

Länge eines räumlichen Vektors a = (a₁; a₂; a₃): |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²).

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

a1 a₁

a2 a₂

a3 a₃

Was ist der räumliche Vektorbetrag?

Im dreidimensionalen Raum ergibt sich die Länge eines Vektors aus zwei verschachtelten Pythagoras-Anwendungen: zuerst die Diagonale in der xy-Ebene, dann die räumliche Diagonale über die z-Komponente.

Das Ergebnis ist eine nicht-negative Zahl — die Maßzahl der Strecke vom Ursprung bis zum Endpunkt des Vektors.

Die Formel

Formel Vektorbetrag 3D

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Mit a = (a₁; a₂; a₃)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	x-Komponente	—	Erste Komponente des Vektors.
a₂	y-Komponente	—	Zweite Komponente des Vektors.
a₃	z-Komponente	—	Dritte Komponente des Vektors.
m	Betrag	Länge	Länge des räumlichen Vektors a.

Minimal-Beispiel

a = (2; 3; 6):

Rechnung Beispiel

|a| = √(2² + 3² + 6²)
    = √(4 + 9 + 36)
    = √49
    = 7

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Raumdiagonale eines Quaders

Ein Quader mit den Kanten (6; 4; 3) hat welche Raumdiagonale?

Rechnung Raumdiagonale

|d| = √(6² + 4² + 3²)
    = √(36 + 16 + 9)
    = √61
    ≈ 7,81

Beispiel 2 — Geschwindigkeit eines Flugzeugs

Ein Flugzeug hat den Geschwindigkeitsvektor v = (200; 50; 10) km/h (Ost, Nord, Steigflug). Wie schnell ist es absolut?

Rechnung Flugzeug

|v| = √(200² + 50² + 10²)
    = √(40 000 + 2 500 + 100)
    = √42 600
    ≈ 206,4 km/h

Beispiel 3 — Punkt im Spielraum

Ein 3D-Spielobjekt steht bei (4; 4; −2). Wie weit ist es vom Welt-Ursprung?

Rechnung Spielobjekt

|a| = √(16 + 16 + 4)
    = √36
    = 6

Beispiel 4 — Kraftbetrag aus Komponenten

Eine Kraft hat die Komponenten F = (12; 5; 0) N und F_z = 84 N. Wie groß ist sie?

Rechnung Kraft

|F| = √(12² + 5² + 84²)
    = √(144 + 25 + 7 056)
    = √7 225
    = 85 N