Geradengleichung (Punkt -Steigung)
Punkt-Steigungs-Form einer Geraden: y = m · (x − x₁) + y₁. Berechnet den y-Wert auf der Geraden an der Stelle x oder die x-Stelle zu einem gegebenen y.
Geradengleichung (Punkt-Steigung) berechnen
Punkt-Steigungs-Form einer Geraden: y = m · (x − x₁) + y₁. Berechnet den y-Wert auf der Geraden an der Stelle x oder die x-Stelle zu einem gegebenen y.
- y — y
- x — x
Was ist die Punkt-Steigungs-Form?
Die Punkt-Steigungs-Form beschreibt eine Gerade über genau zwei Angaben: einen bekannten Punkt P₁(x₁; y₁) auf der Geraden und ihre Steigung m. Sie ist die direkteste Form, eine Gerade zu notieren, wenn diese Informationen vorliegen — kein Umweg über den y-Achsenabschnitt.
Die Form lässt sich jederzeit in die Hauptform y = m·x + b überführen, indem man b = y₁ − m·x₁ berechnet.
Die Formel
y = m · (x − x₁) + y₁
Aufgelöst nach x:
x = (y − y₁) / m + x₁ (für m ≠ 0)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| m | Steigung | — | Anstieg der Geraden (Δy / Δx). |
| x₁, y₁ | Punkt auf g | — | Bekannter Punkt der Geraden. |
| x | x-Stelle | — | x-Wert, an dem die Gerade ausgewertet wird. |
| y | y-Wert | — | Funktionswert der Geraden an der Stelle x. |
Minimal-Beispiel
Gerade durch P₁(2; 3) mit Steigung m = 4. Welcher y-Wert liegt bei x = 5?
y = 4 · (5 − 2) + 3
= 4 · 3 + 3
= 15Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Schraffe in einer Konstruktionszeichnung
Eine Hilfslinie verläuft durch (1; 1) mit Steigung 0,5. Wo liegt sie bei x = 9?
y = 0,5 · (9 − 1) + 1
= 0,5 · 8 + 1
= 5Beispiel 2 — Negative Steigung
Gerade durch (−2; 4), m = −3. Wert bei x = 1:
y = −3 · (1 − (−2)) + 4
= −3 · 3 + 4
= −5Beispiel 3 — Umstellung nach x
Wann erreicht die Gerade durch (0; 10) mit m = −2 den Wert y = 0 (Nullstelle)?
x = (0 − 10) / (−2) + 0
= 5Beispiel 4 — Tangenten-Linearisierung
Eine Tangente liegt bei (3; 9) und hat Steigung 6 (Beispiel: Tangente an f(x) = x² in x = 3). Wert bei x = 3,1:
y = 6 · (3,1 − 3) + 9
= 6 · 0,1 + 9
= 9,6