Skalarprodukt (3D)
Skalarprodukt zweier räumlicher Vektoren a = (a₁; a₂; a₃) und b = (b₁; b₂; b₃): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.
Skalarprodukt (3D) berechnen
Skalarprodukt zweier räumlicher Vektoren a = (a₁; a₂; a₃) und b = (b₁; b₂; b₃): a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.
Was ist das Skalarprodukt im Raum?
Im dreidimensionalen Raum funktioniert das Skalarprodukt analog zum ebenen Fall: Komponentenweise multiplizieren, Ergebnisse addieren. Es gilt nach wie vor a · b = |a| · |b| · cos(φ).
Wichtige Anwendungen sind die Winkelberechnung zwischen räumlichen Vektoren, der Orthogonalitätstest und die Arbeit einer Kraft entlang eines beliebigen 3D-Weges.
Die Formel
a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + a₃ · b₃
Mit a = (a₁; a₂; a₃), b = (b₁; b₂; b₃)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a₁, a₂, a₃ | Vektor a | — | Komponenten des ersten Vektors. |
| b₁, b₂, b₃ | Vektor b | — | Komponenten des zweiten Vektors. |
| d | Skalarprodukt | — | Reeller Zahlenwert von a · b. |
Minimal-Beispiel
a = (1; 2; 3), b = (4; 5; 6):
a · b = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6
= 4 + 10 + 18
= 32Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Orthogonalität im Raum
Stehen a = (2; −1; 3) und b = (1; 5; 1) senkrecht aufeinander?
a · b = 2 · 1 + (−1) · 5 + 3 · 1
= 2 − 5 + 3
= 0 → a ⊥ bBeispiel 2 — Arbeit entlang einer schiefen Bahn
Eine Kraft F = (10; 20; −5) N wirkt entlang des Weges s = (3; 4; 2) m. Welche Arbeit wird verrichtet?
W = F · s
= 10 · 3 + 20 · 4 + (−5) · 2
= 30 + 80 − 10
= 100 JBeispiel 3 — Beleuchtungs-Berechnung in der 3D-Grafik
Die Flächennormale eines Polygons sei n = (0; 1; 0), die Lichtrichtung l = (0; 0,8; 0,6). Wie hell wird die Fläche (Lambert-Beleuchtung)?
n · l = 0 · 0 + 1 · 0,8 + 0 · 0,6
= 0,8
Helligkeitsfaktor: 0,8 (80 %).Beispiel 4 — Negative Werte
a = (−2; 3; 1), b = (4; 0; −5):
a · b = (−2) · 4 + 3 · 0 + 1 · (−5)
= −8 + 0 − 5
= −13