Winkel zwischen Vektoren
Schließwinkel φ zwischen zwei ebenen Vektoren: cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|). Ergebnis in Grad.
Winkel zwischen Vektoren berechnen
Schließwinkel φ zwischen zwei ebenen Vektoren: cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|). Ergebnis in Grad.
Was ist der Winkel zwischen zwei Vektoren?
Zwei Vektoren a und b, die im selben Ursprung angreifen, schließen einen Winkel φ zwischen 0° und 180° ein. Aus dem Skalarprodukt ergibt sich direkt:
cos(φ) = (a · b) / (|a| · |b|)
Damit lässt sich φ über den Arkuskosinus berechnen. Sonderfälle:
- φ = 0° — gleichgerichtet
- φ = 90° — orthogonal (a · b = 0)
- φ = 180° — entgegengesetzt
Die Formel
φ = arccos((a₁·b₁ + a₂·b₂) / (√(a₁² + a₂²) · √(b₁² + b₂²)))
Voraussetzung: |a| ≠ 0 und |b| ≠ 0Vor dem arccos wird das Verhältnis auf [−1, 1] geklemmt — Rundungsfehler dürfen den Definitionsbereich nicht verlassen.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a₁, a₂ | Vektor a | — | Komponenten des ersten Vektors. |
| b₁, b₂ | Vektor b | — | Komponenten des zweiten Vektors. |
| φ | Schließwinkel | ° | Winkel zwischen a und b in Grad (0°…180°). |
Minimal-Beispiel
a = (1; 0), b = (0; 1):
a · b = 0
|a| = 1, |b| = 1
cos(φ) = 0 / 1 = 0
φ = arccos(0) = 90°Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Schräglage zweier Kräfte
F₁ = (4; 0) N und F₂ = (3; 4) N. Welchen Winkel schließen sie ein?
F₁ · F₂ = 12
|F₁| = 4, |F₂| = 5
cos(φ) = 12 / 20 = 0,6
φ = arccos(0,6) ≈ 53,13°Beispiel 2 — Stumpfer Winkel
a = (−1; 2), b = (3; 1):
a · b = −3 + 2 = −1
|a| = √5, |b| = √10
cos(φ) = −1 / (√5 · √10) = −1 / √50
φ ≈ arccos(−0,1414) ≈ 98,13°Beispiel 3 — Sichtrichtung trifft Wand
Eine Blickrichtung b = (1; 0,2) trifft eine Wand mit Normale n = (−1; 0). Unter welchem Winkel?
b · n = −1 + 0 = −1
|b| = √1,04, |n| = 1
cos(φ) = −1 / √1,04 ≈ −0,981
φ ≈ 168,7° (annähernd entgegen der Normale)Beispiel 4 — Vektoren gleich gerichtet
a = (2; 4), b = (3; 6) — b zeigt in dieselbe Richtung wie a:
a · b = 6 + 24 = 30
|a| = √20, |b| = √45
cos(φ) = 30 / √900 = 30 / 30 = 1
φ = arccos(1) = 0°