/ Analytische Geometrie

Geradengleichung durch zwei Punkte

Liefert die Geradengleichung y = m·x + b durch zwei Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂). Steigung m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), Achsenabschnitt b = y₁ − m·x₁.

01 · Eingabe

Geradengleichung durch zwei Punkte berechnen

Liefert die Geradengleichung y = m·x + b durch zwei Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂). Steigung m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), Achsenabschnitt b = y₁ − m·x₁.

y = m · x + b mit m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), b = y₁ − m · x₁

x1 x₁

y1 y₁

x2 x₂

y2 y₂

Wie bestimmt man eine Gerade aus zwei Punkten?

Durch zwei verschiedene Punkte P₁ und P₂ verläuft genau eine Gerade. Aus deren Koordinaten lassen sich beide Kenngrößen der Hauptform y = m·x + b ableiten:

Steigung m als Differenzenquotient: Höhenunterschied geteilt durch Längenunterschied.
Achsenabschnitt b, indem man einen der Punkte in y = m·x + b einsetzt und nach b auflöst.

Ist x₁ = x₂, ist die Gerade senkrecht — sie hat keine Steigung und keine Form y = m·x + b.

Die Formel

Formel Gerade durch 2 Punkte

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
b = y₁ − m · x₁

Gerade:  y = m · x + b

Bedingung: x₁ ≠ x₂

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
x₁, y₁	Punkt P₁	—	Erster Punkt auf der Geraden.
x₂, y₂	Punkt P₂	—	Zweiter Punkt auf der Geraden.
m	Steigung	—	Anstieg der Geraden, Δy / Δx.
b	Achsenabschn.	—	y-Wert beim Schnitt mit der y-Achse.

Minimal-Beispiel

Gerade durch P₁(1; 2) und P₂(3; 8):

Rechnung Beispiel

m = (8 − 2) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3
b = 2 − 3 · 1 = −1

y = 3 · x − 1

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kostenfunktion

Bei 100 produzierten Stück fallen 850 € an, bei 250 Stück 1 600 €. Wie sieht die lineare Kostenfunktion aus?

Rechnung Kostenfunktion

m = (1 600 − 850) / (250 − 100) = 750 / 150 = 5
b = 850 − 5 · 100 = 350

K(x) = 5 · x + 350

Pro Stück fallen 5 €, die Fixkosten betragen 350 €.

Beispiel 2 — Höhenprofil einer Rampe

Eine Rampe beginnt bei (0; 0,30) m und endet bei (6,00; 0,90) m. Welche Gleichung beschreibt das Höhenprofil?

Rechnung Rampe

m = (0,90 − 0,30) / (6,00 − 0) = 0,10
b = 0,30 − 0,10 · 0 = 0,30

h(x) = 0,10 · x + 0,30

Die Rampe hat 10 % Steigung.

Beispiel 3 — Negative Steigung

P₁(−2; 7) und P₂(4; −5):

Rechnung Negative Steigung

m = (−5 − 7) / (4 − (−2)) = −12 / 6 = −2
b = 7 − (−2) · (−2) = 7 − 4 = 3

y = −2 · x + 3

Beispiel 4 — Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Zur Zeit t = 2 s wird v = 8 m/s gemessen, bei t = 5 s sind es 20 m/s. Wie lautet die Bewegungsgleichung (gleichmäßige Beschleunigung)?

Rechnung v(t)

m = (20 − 8) / (5 − 2) = 12 / 3 = 4 m/s²
b = 8 − 4 · 2 = 0 m/s

v(t) = 4 · t