Abstand zweier Punkte (2D)
Euklidischer Abstand zweier Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂) in der Ebene: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Abstand zweier Punkte (2D) berechnen
Euklidischer Abstand zweier Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂) in der Ebene: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Was ist der Abstand zweier Punkte?
Der Abstand zweier Punkte P₁(x₁; y₁) und P₂(x₂; y₂) in der Ebene ist die Länge der geraden Verbindungsstrecke zwischen ihnen — die Luftlinie.
Die Formel ergibt sich direkt aus dem Satz des Pythagoras: Die Differenzen Δx = x₂ − x₁ und Δy = y₂ − y₁ sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, der Abstand d ist die Hypotenuse.
Die Formel
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle — das Quadrieren entfernt das Vorzeichen.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| x₁, y₁ | Punkt P₁ | Länge | Koordinaten des ersten Punktes. |
| x₂, y₂ | Punkt P₂ | Länge | Koordinaten des zweiten Punktes. |
| d | Abstand | Länge | Euklidische Länge der Strecke P₁P₂. |
Minimal-Beispiel
Abstand zwischen P₁(1; 2) und P₂(4; 6):
d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Luftlinie auf der Karte
Zwei Orte auf einem Stadtplan liegen bei P₁(120; 80) und P₂(450; 360) Metern. Wie weit ist die Luftlinie?
d = √((450 − 120)² + (360 − 80)²)
= √(330² + 280²)
= √(108 900 + 78 400)
= √187 300
≈ 432,8 mBeispiel 2 — Negative Koordinaten
P₁(−3; 4) und P₂(2; −8):
d = √((2 − (−3))² + (−8 − 4)²)
= √(5² + (−12)²)
= √(25 + 144)
= √169
= 13Beispiel 3 — Pixelabstand im Display
Ein Klick liegt bei (320; 200), das Ziel bei (480; 280). Wie weit muss der Mauszeiger?
d = √((480 − 320)² + (280 − 200)²)
= √(160² + 80²)
= √(25 600 + 6 400)
= √32 000
≈ 178,9 pxBeispiel 4 — Seitenlänge eines Dreiecks
Ein Dreieck hat die Ecken A(0; 0), B(6; 0) und C(3; 4). Bestimme die Seite a = BC:
a = √((3 − 6)² + (4 − 0)²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5