Kettenregel

Was ist die Kettenregel?

Die Kettenregel beschreibt, wie sich eine verkettete Funktion h(x) = f(g(x)) ableiten lässt. g heißt innere Funktion, f heißt äußere Funktion.

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Merksatz: „Äußere Ableitung an der Stelle der inneren Funktion mal innere Ableitung."

In Leibniz-Schreibweise lautet die Regel besonders intuitiv: setzt man u = g(x), dann ist dy/dx = (dy/du) · (du/dx) — die Differentiale kürzen sich formal weg.

Die Formel

h(x)  = f(g(x))
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Leibniz-Schreibweise:
    dy/dx = (dy/du) · (du/dx),   u = g(x)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Leite h(x) = (3x + 1)⁵ an der Stelle x = 1 ab. Innere Funktion g(x) = 3x + 1, äußere f(u) = u⁵.

g(1)   = 3·1 + 1 = 4
g'(x)  = 3
f'(u)  = 5 · u⁴
f'(g(1)) = 5 · 4⁴ = 5 · 256 = 1280

h'(1) = f'(g(1)) · g'(1)
      = 1280 · 3
      = 3840

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wurzelausdruck

h(x) = √(x² + 1) an der Stelle x = 2.

g(x)  = x² + 1,        g(2)   = 5,    g'(2) = 4
f(u)  = √u,            f'(u)  = 1 / (2√u)
f'(g(2)) = 1 / (2·√5) ≈ 0,2236

h'(2) = 0,2236 · 4 ≈ 0,8944

Beispiel 2 — Sinus von Polynom

h(x) = sin(x²) an der Stelle x = 0.

g(x)  = x²,           g(0)   = 0,   g'(0) = 0
f(u)  = sin(u),       f'(u)  = cos(u)
f'(g(0)) = cos(0) = 1

h'(0) = 1 · 0 = 0

Beispiel 3 — Exponential mit linearem Argument

h(x) = e^(2x) an der Stelle x = 0.

g(x)  = 2x,           g(0)   = 0,   g'(0) = 2
f(u)  = eᵘ,           f'(u)  = eᵘ
f'(g(0)) = e⁰ = 1

h'(0) = 1 · 2 = 2

Beispiel 4 — Logarithmus mit innerem Polynom

h(x) = ln(x² + 1) an der Stelle x = 1.

g(x)  = x² + 1,       g(1)   = 2,   g'(1) = 2
f(u)  = ln(u),        f'(u)  = 1/u
f'(g(1)) = 1/2

h'(1) = 0,5 · 2 = 1

Beispiel 5 — Doppelte Verkettung

h(x) = sin(√x) an der Stelle x = π² / 4.

g(x)  = √x,                                  g(π²/4) = π/2,  g'(π²/4) = 1/(2·π/2) = 1/π
f(u)  = sin(u),                              f'(u)  = cos(u)
f'(g(π²/4)) = cos(π/2) = 0

h'(π²/4) = 0 · (1/π) = 0