/ Differentialrechnung

Tangentensteigung

Numerische Ableitung über den zentralen Differenzenquotienten: f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h).

Tangentensteigung

01 · Eingabe

Tangentensteigung berechnen

Numerische Ableitung über den zentralen Differenzenquotienten: f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h).

m = (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h)

fxph f(x + h)

fxmh f(x − h)

h Schrittweite h

Was ist die Tangentensteigung?

Die Tangentensteigung an einer Stelle x einer differenzierbaren Funktion ist der Wert der Ableitung f'(x). Geometrisch ist sie die Steigung der eindeutig bestimmten Geraden, die den Graphen von f im Punkt (x, f(x)) berührt.

Lässt sich f nicht bequem symbolisch ableiten, hilft der zentrale Differenzenquotient:

f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h)

Er ist ein Mittelwert aus links- und rechtsseitiger Sekantensteigung und konvergiert für h → 0 gegen f'(x). Praktisch wählt man h klein, aber nicht zu klein — sonst dominieren Rundungsfehler.

Die Formel

Formel Zentraler Differenzenquotient

m = (f(x + h) − f(x − h)) / (2 · h)

Praktische Schrittweite:
    h ≈ 10⁻⁵   für double-precision
    h ≈ 10⁻³   für handgerechnete Beispiele

Der Fehler dieses Verfahrens ist von der Ordnung O(h²) — er fällt also schneller als beim einseitigen Differenzenquotient (Ordnung O(h)).

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
f(x+h)	rechter Wert	—	Funktionswert bei x + h.
f(x−h)	linker Wert	—	Funktionswert bei x − h.
h	Schrittweite	—	Kleine positive Zahl, h ≠ 0.
m	Steigung	—	Tangentensteigung an der Stelle x.

Minimal-Beispiel

f(x) = x² an der Stelle x = 3, Schrittweite h = 0,01.

Rechnung Beispiel

f(x + h) = (3,01)² = 9,0601
f(x − h) = (2,99)² = 8,9401

m = (9,0601 − 8,9401) / (2 · 0,01)
  = 0,12 / 0,02
  = 6

Symbolisch: f'(x) = 2x, also f'(3) = 6 — der Differenzenquotient trifft hier exakt.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Exponentialfunktion

f(x) = eˣ an der Stelle x = 0, h = 0,001.

Rechnung eˣ bei x = 0

f(0,001) ≈ 1,0010005
f(−0,001) ≈ 0,9990005

m = (1,0010005 − 0,9990005) / 0,002
  = 0,002 / 0,002
  = 1,0000  (Vergleich: e⁰ = 1)

Beispiel 2 — Sinusfunktion

f(x) = sin(x) an der Stelle x = π/3, h = 0,001.

Rechnung sin bei π/3

f(π/3 + h) ≈ 0,866 5254
f(π/3 − h) ≈ 0,865 5253

m ≈ 0,0010001 / 0,002
  ≈ 0,5000  (Vergleich: cos(π/3) = 0,5)

Beispiel 3 — Schrittweite zu groß

Gleiche Funktion f(x) = x² bei x = 3, aber h = 1 (absichtlich grob):

Rechnung Großes h

f(4) = 16
f(2) = 4

m = (16 − 4) / 2 = 6

Bei quadratischen Funktionen ist der zentrale Differenzenquotient sogar bei großem h exakt — das ist eine Besonderheit. Bei höheren Funktionen wächst der Fehler.

Beispiel 4 — Tabellarisch gegebener Datensatz

Messwerte einer Bewegung:

Rechnung s(t)

t = 1,9 s   →   s = 18,05 m
t = 2,0 s   →   s = 20,00 m
t = 2,1 s   →   s = 22,05 m

v(2,0) ≈ (22,05 − 18,05) / (2 · 0,1)
      = 4,00 / 0,2
      = 20 m/s

Beispiel 5 — Logarithmus

f(x) = ln(x) an der Stelle x = 2, h = 0,01.

Rechnung ln bei x = 2

f(2,01) ≈ 0,698 1347
f(1,99) ≈ 0,688 1347

m ≈ 0,01 / 0,02 = 0,5000  (Vergleich: 1/x = 1/2 = 0,5)