Quotientenregel

Was ist die Quotientenregel?

Die Quotientenregel liefert die Ableitung eines Bruchs aus zwei differenzierbaren Funktionen f und g (mit g(x) ≠ 0):

(f / g)'(x) = (f'(x) · g(x) − f(x) · g'(x)) / g(x)²

Merksatz: „Zähler abgeleitet mal Nenner, minus Zähler mal Nenner abgeleitet, alles geteilt durch Nenner zum Quadrat."

Die Regel ergibt sich aus der Produktregel angewandt auf f · g^(−1) und ist die natürliche Ergänzung zu Potenz-, Produkt- und Kettenregel.

Die Formel

(f / g)'(x) = (f'(x) · g(x) − f(x) · g'(x)) / g(x)²

Voraussetzung:  g(x) ≠ 0

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Leite h(x) = x / (x + 1) an der Stelle x = 2 ab.

f(2)  = 2,   f'(2)  = 1
g(2)  = 3,   g'(2)  = 1

h'(2) = (1 · 3 − 2 · 1) / 3²
      = (3 − 2) / 9
      = 1/9
      ≈ 0,1111

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Tangens als Quotient

tan(x) = sin(x) / cos(x). An der Stelle x = 0:

f(0)  = sin(0) = 0,   f'(0)  = cos(0) = 1
g(0)  = cos(0) = 1,   g'(0)  = −sin(0) = 0

tan'(0) = (1 · 1 − 0 · 0) / 1²
        = 1

Tatsächlich ist tan'(x) = 1 / cos²(x), und 1 / cos²(0) = 1.

Beispiel 2 — Gebrochenrationale Funktion

h(x) = (x² + 1) / (x − 1) an der Stelle x = 2:

f(2)  = 5,   f'(2)  = 2·2 = 4
g(2)  = 1,   g'(2)  = 1

h'(2) = (4 · 1 − 5 · 1) / 1²
      = −1

Beispiel 3 — Konstante im Zähler

h(x) = 1 / x² an der Stelle x = 2:

f(2)  = 1,   f'(2)  = 0
g(2)  = 4,   g'(2)  = 2·2 = 4

h'(2) = (0 · 4 − 1 · 4) / 4²
      = −4 / 16
      = −0,25

Zum Vergleich: mit der Potenzregel ergibt sich h'(x) = −2/x³, h'(2) = −2/8 = −0,25.

Beispiel 4 — Exponential im Nenner

h(x) = x / eˣ an der Stelle x = 0:

f(0)  = 0,   f'(0)  = 1
g(0)  = 1,   g'(0)  = 1

h'(0) = (1 · 1 − 0 · 1) / 1² = 1

Beispiel 5 — Asymptote prüfen

Für h(x) = (3x − 6) / (x − 2) wäre an x = 2 der Nenner null. Die Quotientenregel gilt dort nicht — die Funktion ist an x = 2 nicht definiert. An x = 3:

f(3)  = 3,   f'(3)  = 3
g(3)  = 1,   g'(3)  = 1

h'(3) = (3 · 1 − 3 · 1) / 1² = 0

Tatsächlich ist h(x) = 3 (außer an x = 2) und damit überall (wo definiert) konstant.