Extremstellen
Notwendige Bedingung: f'(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung über das Vorzeichen von f''(x₀): f'' > 0 ⇒ Minimum, f'' < 0 ⇒ Maximum, f'' = 0 ⇒ Sattelpunkt (weitere Prüfung nötig).
Extremstellen berechnen
Notwendige Bedingung: f'(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung über das Vorzeichen von f''(x₀): f'' > 0 ⇒ Minimum, f'' < 0 ⇒ Maximum, f'' = 0 ⇒ Sattelpunkt (weitere Prüfung nötig).
Was sind Extremstellen?
Extremstellen sind Punkte, an denen eine Funktion ein lokales Minimum oder Maximum annimmt. Geometrisch ist die Tangente an einem Extremum waagerecht — die Funktion „kippt" dort von steigend auf fallend (Maximum) oder umgekehrt (Minimum).
Die Standardprüfung verläuft in zwei Schritten:
- Notwendige Bedingung: f'(x₀) = 0 — Kandidatenstellen finden.
- Hinreichende Bedingung: Das Vorzeichen von f''(x₀) klassifiziert die Stelle:
| f''(x₀) | Typ |
|---|---|
| > 0 | Minimum (Linkskrümmung) |
| < 0 | Maximum (Rechtskrümmung) |
| = 0 | Sattelpunkt — höhere Ableitungen prüfen |
Die Formel
notwendig: f'(x₀) = 0
hinreichend: f''(x₀) ≠ 0
f''(x₀) > 0 → Minimum
f''(x₀) < 0 → Maximum
f''(x₀) = 0 → weitere Prüfung (Sattel oder Extremum)Bei f''(x₀) = 0 hilft der Vorzeichenwechsel-Test für f' oder das Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden höheren Ableitung.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| f'(x₀) | Erste Ableitung | — | Sollte ≈ 0 sein (notwendige Bedingung). |
| f''(x₀) | Zweite Ableitung | — | Vorzeichen entscheidet über Minimum / Maximum / Sattel. |
| Typ | Klassifikation | — | Minimum, Maximum oder Sattelpunkt. |
Minimal-Beispiel
f(x) = x² − 4x + 7. An x₀ = 2 ist f'(2) = 0.
f'(x) = 2x − 4 → f'(2) = 0 ✓ (Kandidat)
f''(x) = 2 → f''(2) = 2 > 0 → Minimum
Minimalwert: f(2) = 4 − 8 + 7 = 3Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Maximum einer Parabel
f(x) = −x² + 6x − 5. Kandidat: f'(x) = −2x + 6 = 0 ⇒ x₀ = 3.
f'(3) = 0 ✓
f''(3) = −2 < 0 → Maximum
Maximalwert: f(3) = −9 + 18 − 5 = 4Beispiel 2 — Sattelpunkt
f(x) = x³. Bei x₀ = 0 sind alle ersten beiden Ableitungen null.
f'(0) = 0 ✓
f''(0) = 0 → weitere Prüfung
f'''(0)= 6 ≠ 0 → Sattelpunkt (kein Extremum)Bei f''(x₀) = 0 entscheidet die erste nicht verschwindende höhere Ableitung. Ist sie von ungerader Ordnung, liegt ein Sattelpunkt vor; bei gerader Ordnung folgt aus dem Vorzeichen ein Min/Max.
Beispiel 3 — Mehrere Extrema
f(x) = x³ − 3x. Kandidaten aus f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1.
f''(x) = 6x
Bei x = 1: f''(1) = 6 > 0 → Minimum, f(1) = −2
Bei x = −1: f''(−1) = −6 < 0 → Maximum, f(−1) = 2Beispiel 4 — Anwendung Optimierung
Ein rechteckiges Beet mit Umfang 40 m soll maximalen Flächeninhalt haben. Mit a + b = 20 ist b = 20 − a, also A(a) = a · (20 − a) = 20a − a².
A'(a) = 20 − 2a = 0 → a = 10
A''(a) = −2 < 0 → Maximum
A_max = 10 · 10 = 100 m² (Quadrat)Beispiel 5 — Funktion mit Wurzel
f(x) = √x · (x − 3). Mit Produkt- und Potenzregel ergibt sich an x₀ = 1:
f'(1) = 0 ✓
f''(1) = 0,75 > 0 → Minimum
f(1) = 1 · (−2) = −2