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Linearisierung

L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a). Tangentennäherung von f an der Entwicklungsstelle a, ausgewertet an einer Stelle x.

Linearisierung
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Linearisierung berechnen

L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a). Tangentennäherung von f an der Entwicklungsstelle a, ausgewertet an einer Stelle x.

L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a)

Was ist Linearisierung?

Die Linearisierung einer differenzierbaren Funktion f an einer Stelle a ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt (a, f(a)) — aufgefasst als lineare Funktion L:

L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a)

Für x nahe bei a ist L(x) eine gute Näherung an f(x). Der Fehler verschwindet schneller als jede lineare Abweichung — formal: f(x) − L(x) = O((x − a)²).

Die Linearisierung ist der Taylorpolynom-Beginn (Grad 1) und damit die einfachste Approximation einer glatten Funktion. Sie steckt hinter dem Newton-Verfahren zur Nullstellensuche, hinter der Fehlerfortpflanzung in der Messtechnik und hinter allen „kleine Schwingungen"-Argumenten der Physik.

Die Formel

Formel Linearisierung 
L(x) = f(a) + f'(a) · (x − a)

Eigenschaften:
    L(a)   = f(a)         (Berühren im Entwicklungspunkt)
    L'(a)  = f'(a)        (gleiche Steigung)

Fehler:
    f(x) − L(x) ≈ ½ · f''(ξ) · (x − a)²,  ξ zwischen a und x

Je weiter x von a entfernt ist, desto stärker wirkt sich die Krümmung über f''(ξ) aus — die Näherung wird unbrauchbar.

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
f(a)Funktionswert—Wert von f an der Entwicklungsstelle a.
f'(a)Ableitung—Steigung von f an der Stelle a.
aEntwicklungsstelle—Stelle, um die linearisiert wird.
xAuswertungsstelle—Stelle, an der L(x) ausgewertet wird.
L(x)Linearisierter Wert—Tangentenwert an der Stelle x.

Minimal-Beispiel

Linearisiere f(x) = √x an der Stelle a = 4 und werte an x = 4,1 aus.

Rechnung Beispiel 
f(a)  = √4 = 2
f'(a) = 1 / (2·√4) = 0,25

L(x)   = 2 + 0,25 · (x − 4)
L(4,1) = 2 + 0,25 · 0,1
       = 2,025

Tatsächlich: √4,1 ≈ 2,024846  → Fehler ≈ 1,5 · 10⁻⁴

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kleine Winkel

f(x) = sin(x) an der Stelle a = 0.

Rechnung sin(x) ≈ x 
f(0)  = 0
f'(0) = cos(0) = 1

L(x) = 0 + 1 · (x − 0) = x

Bei x = 0,1:  sin(0,1) ≈ 0,09983,  L(0,1) = 0,1
Bei x = 0,5:  sin(0,5) ≈ 0,4794,   L(0,5) = 0,5   (schon spürbarer Fehler)

Daher die Faustregel der Physik: für kleine Winkel gilt sin(x) ≈ x.

Beispiel 2 — Wurzel an „bekanntem" Punkt

f(x) = √x an der Stelle a = 100. Schätze √102:

Rechnung √102 
f(100)  = 10
f'(100) = 1 / (2·10) = 0,05

L(102) = 10 + 0,05 · 2 = 10,10

Exakt: √102 ≈ 10,0995  →  Fehler ≈ 0,005

Beispiel 3 — Fehlerfortpflanzung

Der Radius r eines Kreises wird zu r₀ = 5,0 cm gemessen, mit Unsicherheit Δr = 0,1 cm. Wie groß ist der Fehler in der Fläche A(r) = π · r²?

Rechnung ΔA aus Δr 
A(r₀) = π · 25 ≈ 78,54
A'(r) = 2π · r,    A'(5) = 10π ≈ 31,42

ΔA ≈ A'(r₀) · Δr
   = 31,42 · 0,1
   ≈ 3,14 cm²

Die Linearisierung ersetzt hier die exakte Differenz A(r₀ + Δr) − A(r₀) durch das einfacher zu rechnende A'(r₀) · Δr.

Beispiel 4 — Newton-Verfahren als Anwendung

Beim Newton-Verfahren ersetzt man f durch seine Linearisierung und sucht deren Nullstelle: x_(n+1) = x_n − f(x_n) / f'(x_n).

Rechnung Iteration für √2 
f(x)  = x² − 2,    f'(x) = 2x
x₀    = 1,5

x₁ = 1,5 − (2,25 − 2) / 3
   = 1,5 − 0,0833…
   ≈ 1,4167

x₂ ≈ 1,4142  (drei korrekte Nachkommastellen)

Beispiel 5 — Exponentialnäherung

f(x) = eˣ an der Stelle a = 0. L(x) = 1 + x.

Rechnung e^0,02 
L(0,02)  = 1 + 0,02 = 1,02
exakt    = e^0,02 ≈ 1,02020134

Fehler ≈ 2 · 10⁻⁴

Für kleine x ist die Näherung eˣ ≈ 1 + x in Physik und Finanzmathematik allgegenwärtig (Zinseszins, Halbwertszeit, Boltzmann-Faktor bei hoher Temperatur).