Potenzregel
Für f(x) = a · xⁿ gilt f'(x) = a · n · x^(n − 1). Berechnet den Wert der Ableitung an einer Stelle x.
Potenzregel berechnen
Für f(x) = a · xⁿ gilt f'(x) = a · n · x^(n − 1). Berechnet den Wert der Ableitung an einer Stelle x.
Was ist die Potenzregel?
Die Potenzregel ist die zentrale Differentiationsregel für Potenzfunktionen f(x) = a · xⁿ. Sie senkt den Exponenten um eins ab und zieht den ursprünglichen Exponenten als Faktor vor die Potenz:
f(x) = a · xⁿ → f'(x) = a · n · x^(n − 1)
Die Regel gilt für jeden reellen Exponenten n — also auch für negative Exponenten (z. B. 1/x = x^(−1)) und Wurzeln (√x = x^(1/2)).
Die Formel
f(x) = a · xⁿ
f'(x) = a · n · x ^ (n − 1)
Spezialfälle:
f(x) = c → f'(x) = 0
f(x) = x → f'(x) = 1
f(x) = x² → f'(x) = 2x
f(x) = 1/x = x⁻¹ → f'(x) = −1 · x⁻² = −1/x²
f(x) = √x = x^½ → f'(x) = ½ · x^(−½) = 1 / (2√x)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a | Koeffizient | — | Vorfaktor der Potenz. |
| n | Exponent | — | Reeller Exponent von x. |
| x | Stelle | — | Auswertungsstelle der Ableitung. |
| f'(x) | Ableitungswert | — | Wert der Ableitung an der Stelle x. |
Minimal-Beispiel
Ableitung von f(x) = 3x⁴ an der Stelle x = 2:
a = 3, n = 4, x = 2
f'(x) = 3 · 4 · x³ = 12 · x³
f'(2) = 12 · 8 = 96Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Lineare Funktion
f(x) = 5x. Mit a = 5, n = 1:
f'(x) = 5 · 1 · x⁰ = 5Die Steigung einer Geraden ist konstant — wie erwartet.
Beispiel 2 — Quadratische Parabel
f(x) = x². Steigung der Tangente an der Stelle x = 3:
f'(x) = 2 · x
f'(3) = 6Beispiel 3 — Negative Exponenten
f(x) = 1/x² = x⁻². Mit a = 1, n = −2:
f'(x) = 1 · (−2) · x^(−3) = −2 / x³
f'(1) = −2
f'(2) = −0,25Beispiel 4 — Wurzelfunktion
f(x) = √x = x^(1/2). Mit a = 1, n = 1/2:
f'(x) = ½ · x^(−½) = 1 / (2√x)
f'(4) = 1 / (2·2) = 0,25Beispiel 5 — Konstante Funktion
f(x) = 7 = 7 · x⁰. Mit a = 7, n = 0:
f'(x) = 7 · 0 · x^(−1) = 0Die Ableitung jeder Konstanten ist null — die Tangente ist überall waagerecht.