Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x₀) ≠ 0 ⇒ Wendepunkt liegt vor.
Wendepunkte berechnen
Notwendige Bedingung: f''(x₀) = 0. Hinreichende Bedingung: f'''(x₀) ≠ 0 ⇒ Wendepunkt liegt vor.
Was ist ein Wendepunkt?
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Funktion ihre Krümmung wechselt — aus einer Rechtskurve wird eine Linkskurve oder umgekehrt. Geometrisch „streckt" sich der Graph dort einmal vollständig durch.
Das Krümmungsverhalten wird durch f''(x) gesteuert: f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung, f''(x) < 0 Rechtskrümmung. Ein Vorzeichenwechsel von f'' entspricht einem Wendepunkt.
Die Standardprüfung verläuft in zwei Schritten:
- Notwendige Bedingung: f''(x₀) = 0.
- Hinreichende Bedingung: f'''(x₀) ≠ 0.
Die Formel
notwendig: f''(x₀) = 0
hinreichend: f'''(x₀) ≠ 0
f'''(x₀) ≠ 0 → Wendepunkt
f'''(x₀) = 0 → weitere Prüfung (Sattelwendepunkt
oder kein Wendepunkt)Ein Sonderfall ist der Sattelwendepunkt: gleichzeitig f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0. Er ist Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| f''(x₀) | Zweite Ableitung | — | Sollte ≈ 0 sein (notwendige Bedingung). |
| f'''(x₀) | Dritte Ableitung | — | Entscheidet hinreichend, ob ein Wendepunkt vorliegt. |
| Aussage | Klassifikation | — | Wendepunkt vorhanden oder nicht. |
Minimal-Beispiel
f(x) = x³. An x₀ = 0 ist f''(0) = 0 und f'''(0) = 6.
f''(x) = 6x → f''(0) = 0 ✓
f'''(x) = 6 → f'''(0) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt
Wendepunkt: (0 | 0), zugleich Sattelpunkt der Tangente.Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Polynom 3. Grades
f(x) = x³ − 3x² + 1. Mit f''(x) = 6x − 6:
f''(x) = 6x − 6 = 0 → x₀ = 1
f'''(x) = 6 → f'''(1) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt
Wendepunkt: (1 | f(1)) = (1 | −1)Beispiel 2 — Kein Wendepunkt trotz f'' = 0
f(x) = x⁴. An x₀ = 0 ist f''(0) = 0, aber auch f'''(0) = 0.
f''(0) = 0
f'''(0) = 0 → hinreichende Bedingung nicht erfüllt
Tatsächlich: f''(x) = 12 x² wechselt das Vorzeichen NICHT
→ kein Wendepunkt, sondern Minimum.Der Test mit f''' ist also wirklich notwendig — f''(x₀) = 0 allein reicht nicht.
Beispiel 3 — Sattelwendepunkt
f(x) = x³ hat bei x₀ = 0 sowohl f'(0) = 0 als auch f''(0) = 0 — die Tangente ist waagerecht, und es liegt trotzdem ein Wendepunkt vor.
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f'''(0) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt mit waagerechter TangenteBeispiel 4 — Polynom 4. Grades
f(x) = x⁴ − 6x² + 5. Mit f''(x) = 12x² − 12:
f''(x) = 12 x² − 12 = 0 → x = ±1
f'''(x) = 24x
Bei x = 1: f'''(1) = 24 ≠ 0 → Wendepunkt (1 | 0)
Bei x = −1: f'''(−1) = −24 ≠ 0 → Wendepunkt (−1 | 0)Beispiel 5 — Anwendung Wachstumskurve
Eine logistische Wachstumskurve hat genau einen Wendepunkt — den Punkt der maximalen Wachstumsgeschwindigkeit. An diesem Wendepunkt schlägt sich „beschleunigtes Wachstum" um in „verlangsamtes Wachstum".
Modell: N(t) = K / (1 + e^(−k(t − t₀)))
Wendepunkt: bei t = t₀
Wert dort: N(t₀) = K / 2 (halbe Sättigungsgrenze)