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Produktregel

(f · g)' = f' · g + f · g'. Berechnet die Ableitung eines Produkts aus den Werten von f, f', g und g' an einer Stelle.

Produktregel
01 · Eingabe

Produktregel berechnen

(f · g)' = f' · g + f · g'. Berechnet die Ableitung eines Produkts aus den Werten von f, f', g und g' an einer Stelle.

(f · g)' = f' · g + f · g'

Was ist die Produktregel?

Die Produktregel beschreibt, wie sich ein Produkt zweier differenzierbarer Funktionen ableiten lässt:

(f · g)'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

Merksatz: „Erste Funktion abgeleitet mal zweite, plus erste mal zweite Funktion abgeleitet."

Anders als beim Ableiten einer Summe gilt nicht (f · g)' = f' · g'. Die Regel ist eine direkte Folge der Definition der Ableitung als Grenzwert und gilt für jedes Funktionenpaar, das an der betrachteten Stelle differenzierbar ist.

Die Formel

Formel Produktregel 
(f · g)'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

Erweiterung auf drei Faktoren:
    (f · g · h)' = f'·g·h + f·g'·h + f·g·h'

Der Rechner erwartet die Funktions- und Ableitungswerte an einer konkreten Stelle x. Damit lässt sich die Produktregel auswerten, ohne f und g symbolisch differenzieren zu müssen.

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
ff(x)—Wert der ersten Funktion an der Stelle x.
f'f'(x)—Wert der Ableitung von f an der Stelle x.
gg(x)—Wert der zweiten Funktion an der Stelle x.
g'g'(x)—Wert der Ableitung von g an der Stelle x.
(f·g)'Ergebnis—Wert der Ableitung des Produkts an der Stelle x.

Minimal-Beispiel

Leite f(x) = x² · sin(x) an der Stelle x = π/2 ab.

Rechnung Beispiel 
f(x)  = x²            →  f'(x)  = 2x
g(x)  = sin(x)        →  g'(x)  = cos(x)

An der Stelle x = π/2 ≈ 1,5708:
    f(π/2)  = (π/2)² ≈ 2,4674
    f'(π/2) = 2 · π/2 = π ≈ 3,1416
    g(π/2)  = sin(π/2) = 1
    g'(π/2) = cos(π/2) = 0

(f · g)'(π/2) = 3,1416 · 1 + 2,4674 · 0 = 3,1416

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Polynom mal Polynom

h(x) = (x + 2) · (x² − 1) an der Stelle x = 1:

Rechnung Polynome 
f(1)  = 3,   f'(1)  = 1
g(1)  = 0,   g'(1)  = 2

h'(1) = 1 · 0 + 3 · 2 = 6

Beispiel 2 — Exponential mal Polynom

h(x) = x · eˣ an der Stelle x = 0:

Rechnung x · eˣ 
f(0)  = 0,   f'(0)  = 1
g(0)  = 1,   g'(0)  = 1

h'(0) = 1 · 1 + 0 · 1 = 1

Beispiel 3 — Logarithmus mal Wurzel

h(x) = √x · ln(x) an der Stelle x = 1:

Rechnung √x · ln(x) 
f(1)  = 1,            f'(1)  = 1 / (2·1) = 0,5
g(1)  = ln(1) = 0,    g'(1)  = 1/1 = 1

h'(1) = 0,5 · 0 + 1 · 1 = 1

Beispiel 4 — Anwendung Physik

Eine Masse m(t) und ein Geschwindigkeit v(t) ergeben den Impuls p(t) = m(t) · v(t). Bei einer Rakete nimmt m durch Treibstoffverbrauch ab.

Rechnung Impulsänderung 
m(t)  = 1000 kg,  m'(t)  = −20 kg/s
v(t)  = 50 m/s,   v'(t)  =   3 m/s²

p'(t) = m'·v + m·v'
      = (−20) · 50 + 1000 · 3
      = −1000 + 3000
      = 2000 (kg·m/s²)

Beispiel 5 — Tangentensteigung gewinnen

Für h(x) = (3x² − 1) · cos(x) an x = 0 ergibt sich:

Rechnung cos-Anteil 
f(0)  = −1,   f'(0)  = 0
g(0)  =  1,   g'(0)  = 0

h'(0) = 0 · 1 + (−1) · 0 = 0

An x = 0 ist die Tangente von h waagerecht.